Чому мінус на мінус дає плюс?

У школі це вчать напам’ять: мінус на мінус дає плюс, тож (−3) · (−2) = 6. Схоже на правило, яке хтось вигадав і так само міг би обрати −6. Але вибір не такий уже й вільний.

Множення — це стрибки

На числовій прямій додатні числа лежать праворуч від нуля, а від’ємні — ліворуч. Три помножити на два — це три стрибки по два: з нуля на 2, 4 і 6. Перше число каже, скільки разів стрибаєш, друге — який завдовжки стрибок і в який бік.

Стрибки назад

Три помножити на мінус два — це три стрибки по мінус два, тобто ліворуч: на −2, −4 і −6. Додатне на від’ємне дає від’ємне. Порядок чисел не важливий, тож і від’ємне на додатне дає від’ємне: (−3) · 2 = −6.

Ряд, що продовжується

Забирай стрибки й стеж за результатом: з кожним стрибком менше він більшає на 2. Що таке «мінус один стрибок», стрибки не скажуть, а ряд скаже: якщо він продовжується так само, вийде (−1) · (−2) = 2, а зрештою (−3) · (−2) = 6.

Авто їде вперед

Авто їде вперед зі швидкістю 2 метри за секунду, кожна секунда — один стрибок на 2 метри. Через 3 секунди воно буде на 3 · 2 = 6 метрів попереду місця, де воно зараз. 3 секунди тому, у момент −3, воно було в (−3) · 2 = −6, тобто на шість метрів позаду.

Авто їде заднім ходом

Тепер авто їде заднім ходом зі швидкістю −2 метри за секунду. Через 3 секунди воно буде в 3 · (−2) = −6, на шість метрів позаду. Але 3 секунди тому воно було на шість метрів попереду, тож щоб рахунок сходився, (−3) · (−2) має дорівнювати 6.

Перевір сам

Зніми на телефон, як ідеш задом наперед, і пусти відео назад. На відео ти йдеш уперед: рух задом — це від’ємна швидкість, відтворення назад — від’ємний час, а разом вони дають рух уперед.

Розкриття дужок

Зі школи ти знаєш розкриття дужок: (3 + 4) · 2 = 3 · 2 + 4 · 2. На прямій це видно: сім стрибків по два приводять туди ж, куди три стрибки, а за ними ще чотири. На цьому тримається майже кожне перетворення виразу, тож хочемо, щоб це працювало й для від’ємних чисел.

Якби це було −6

У (3 + (−3)) · (−2) у дужках нуль, тож виходить нуль. Після розкриття дужок виходить 3 · (−2) + (−3) · (−2) = −6 + (−3) · (−2), а це дає нуль лише тоді, коли (−3) · (−2) = 6. З −6 той самий вираз дав би то 0, то −12.

То чому мінус на мінус дає плюс?

Бо будь-який інший результат зламав би рахунок, який працює для додатних чисел: ряд кратних зламався б, авто заднім ходом опинилося б не там, а дужки не можна було б розкривати. Мінус на мінус дає плюс, щоб правила діяли однаково для всіх чисел.