Чому не можна ділити на нуль?
Калькулятор показує помилку
Набери на калькуляторі 6 : 0 — і замість результату отримаєш помилку. Це лише правило, яке хтось вигадав? Багато хто сказав би, що вийде нуль, а дехто — що нескінченність.
Скільки разів уміститься?
Ділення — це запитання: скільки разів одне число вміщується в іншому? 6 : 2 означає, скільки разів можна забрати з купки із шести цукерок по дві, доки нічого не залишиться. Тричі, тож 6 : 2 = 3.
Перевірка множенням
Кожне ділення можна перевірити множенням: результат, помножений на те, на що ділили, має повернути початкове число. 6 : 2 = 3 — правильно, бо 3 · 2 = 6. Три пари цукерок — знову шість.
Скільки разів уміститься нуль?
Тепер 6 : 0. Скільки разів можна забрати із шести цукерок нуль цукерок, доки нічого не залишиться? Купка не меншає, і не вистачить ні тисячі, ні мільйона разів: ти ніколи не закінчиш.
Перевірка не сходиться
Зробімо перевірку: шукаємо число, яке, помножене на нуль, дасть шість. Але будь-що, помножене на нуль, — це нуль: 7 · 0 = 0, 100 · 0 = 0 і 0 · 0 = 0. Такого числа не існує, навіть нуль не підходить.
Нуль поділити на нуль
З 0 : 0 усе навпаки. Шукаємо число, яке, помножене на нуль, дасть нуль, і цю умову виконує геть кожне: 5 · 0 = 0 і 1 000 · 0 = 0. Відповідей нескінченно багато, і жодна не має більше прав, ніж інші.
А як щодо нескінченності?
Жодне звичайне число не підходить, а як щодо нескінченності, тобто чогось більшого за будь-яке число? Спробуй ділити на дедалі менші шматочки: 0,1 вміщується в одиниці десять разів, 0,01 — сто разів, а 0,001 — тисячу. Що ближче шматочок до нуля, то більше разів він уміщується, і так без меж.
З іншого боку
Але до нуля можна наближатися й від від’ємних чисел: 1 : (−0,1) = −10, 1 : (−0,01) = −100. Там результат падає у від’ємні числа, знову без меж. Тож не можна навіть сказати, чи було б 1 : 0 величезним додатним числом, чи величезним від’ємним.
Перевір сам
Відкрий калькулятор у телефоні й поділи одиницю на 0,001, потім на −0,001 і нарешті на 0,000001. Вийде 1 000, −1 000 і мільйон. Але спробуй поділити на нуль — і калькулятор знову покаже помилку.
А якби ми все-таки дозволили?
Рівність 2 · 0 = 3 · 0 правильна: обидві частини дорівнюють нулю. Якби можна було ділити на нуль, ми поділили б на нього обидві частини й залишилося б 2 = 3. Щойно ми дозволимо ділити на нуль, так можна «довести» що завгодно.
То чому не можна ділити на нуль?
Результат ділення — це число, яке, помножене на дільник, повертає початкове число. Для 6 : 0 такого немає, для 0 : 0 підходить будь-яке, а з нескінченністю ми навіть не знаємо, чи вона додатна, чи від’ємна. Це не вигадана заборона: просто жодна відповідь не має сенсу.