Eksi çarpı eksi neden artı?

Okulda ezberleriz: eksi çarpı eksi artıdır, yani (−3) × (−2) = 6. Birinin uydurduğu ve pekâlâ −6’yı da seçebileceği bir kural gibi görünür. Ama seçim o kadar serbest değil.

Çarpma, zıplamaktır

Sayı doğrusunda pozitif sayılar sıfırın sağında, negatifler solundadır. Üç çarpı iki, ikişerlik üç zıplamadır: sıfırdan 2’ye, 4’e ve 6’ya. İlk sayı kaç kez zıplayacağını, ikincisi zıplamanın ne kadar uzun olduğunu ve hangi yöne gittiğini söyler.

Geriye zıplamak

Üç çarpı eksi iki, eksi ikişerlik üç zıplamadır, yani sola doğru: −2’ye, −4’e ve −6’ya. Pozitif çarpı negatif negatiftir. Sayıların sırası önemli değildir, bu yüzden negatif çarpı pozitif de negatiftir: (−3) × 2 = −6.

Devam eden bir dizi

Zıplamaları azalt ve sonuca bak: her bir zıplama eksildikçe 2 artar. “Eksi bir zıplama”nın ne olduğunu zıplamalar söylemez ama dizi söyler: aynı şekilde devam ederse (−1) × (−2) = 2 ve sonunda (−3) × (−2) = 6 çıkar.

Araba ileri gidiyor

Bir araba saniyede 2 metre ileri gidiyor, her saniye 2 metrelik bir zıplama. 3 saniye sonra şimdiki yerinin 3 × 2 = 6 metre önünde olacak. 3 saniye önce, −3 anında, (−3) × 2 = −6’daydı, yani altı metre geride.

Araba geri geri gidiyor

Şimdi araba saniyede −2 metre hızla geri geri gidiyor. 3 saniye sonra 3 × (−2) = −6’da, altı metre geride olacak. Ama 3 saniye önce altı metre öndeydi, yani hesabın tutması için (−3) × (−2) 6 olmalı.

Kendin kontrol et

Telefonla geri geri yürürken kendini çek ve videoyu tersten oynat. Videoda ileri yürüyorsun: geri yürümek negatif hız, tersten oynatmak negatif zaman, ikisi birlikte ileri hareket verir.

Parantezi dağıtmak

Okuldan parantez dağıtmayı bilirsin: (3 + 4) × 2 = 3 × 2 + 4 × 2. Bu, sayı doğrusunda da görülür: ikişerlik yedi zıplama, üç zıplama ve ardından dört zıplama daha ile aynı yere varır. İfadelerle yapılan neredeyse her işlem buna dayanır, bu yüzden negatif sayılarda da geçerli olmasını isteriz.

−6 olsaydı

(3 + (−3)) × (−2) ifadesinde parantezin içi sıfır, yani sonuç sıfır. Parantezi dağıtınca 3 × (−2) + (−3) × (−2) = −6 + (−3) × (−2) çıkar ve bu ancak (−3) × (−2) = 6 ise sıfır olur. Sonuç −6 olsaydı, aynı ifade bir hesapta 0, öbüründe −12 çıkardı.

Peki eksi çarpı eksi neden artı?

Çünkü başka herhangi bir sonuç, pozitif sayılarda işleyen hesapları bozardı: katların dizisi bozulurdu, geri giden araba yanlış yerde olurdu ve parantezler dağıtılamazdı. Eksi çarpı eksi artıdır ki kurallar bütün sayılar için aynı işlesin.