Varför blir minus gånger minus plus?

I skolan lär man sig utantill: minus gånger minus blir plus, alltså (−3) · (−2) = 6. Det ser ut som en regel som någon hittat på och lika gärna kunde ha valt −6. Men valet är inte så fritt.

Multiplikation är hopp

På tallinjen ligger de positiva talen till höger om noll och de negativa till vänster. Tre gånger två är tre hopp på två: från noll till 2, 4 och 6. Det första talet säger hur många gånger du hoppar, det andra hur långt hoppet är och åt vilket håll.

Hopp bakåt

Tre gånger minus två är tre hopp på minus två, alltså åt vänster: till −2, −4 och −6. Positivt gånger negativt blir negativt. Ordningen spelar ingen roll, så negativt gånger positivt blir också negativt: (−3) · 2 = −6.

En talföljd som fortsätter

Ta bort hopp och titta på svaret: för varje hopp färre blir det 2 större. Vad ”minus ett hopp” är säger inte hoppen, men talföljden gör det: fortsätter den likadant blir det (−1) · (−2) = 2 och till slut (−3) · (−2) = 6.

Bilen kör framåt

En bil kör framåt med 2 meter i sekunden, varje sekund är ett hopp på 2 meter. Om 3 sekunder är den 3 · 2 = 6 meter framför platsen där den är nu. För 3 sekunder sedan, vid tiden −3, var den vid (−3) · 2 = −6, alltså sex meter bakom.

Bilen backar

Nu backar bilen med −2 meter i sekunden. Om 3 sekunder är den vid 3 · (−2) = −6, sex meter bakom. Men för 3 sekunder sedan var den sex meter framför, så för att räkningen ska gå ihop måste (−3) · (−2) bli 6.

Kolla själv

Filma dig själv med mobilen när du går baklänges och spela upp klippet baklänges. I klippet går du framåt: att gå baklänges är negativ hastighet, att spela baklänges är negativ tid, och tillsammans ger de rörelse framåt.

Multiplicera in i parentesen

I skolan har du lärt dig att multiplicera in i en parentes: (3 + 4) · 2 = 3 · 2 + 4 · 2. På tallinjen syns det: sju hopp på två hamnar där tre hopp och sedan fyra till hamnar. Nästan varje omskrivning av ett uttryck bygger på det, så vi vill att det ska gälla även för negativa tal.

Om det vore −6

I (3 + (−3)) · (−2) är parentesen noll, så svaret blir noll. Multiplicerar man in får man 3 · (−2) + (−3) · (−2) = −6 + (−3) · (−2), och det blir noll bara om (−3) · (−2) = 6. Med −6 skulle samma uttryck bli 0 ena gången och −12 andra gången.

Så varför blir minus gånger minus plus?

För att vilket annat svar som helst skulle förstöra räknandet som fungerar för positiva tal: talföljden av multipler skulle brytas, den backande bilen skulle hamna på fel ställe och det skulle inte gå att multiplicera in i parenteser. Minus gånger minus blir plus för att reglerna ska gälla likadant för alla tal.