Varför kan man inte dela med noll?
Räknaren visar fel
Skriv 6 / 0 på en räknare, så får du ett felmeddelande i stället för ett svar. Är det bara en regel som någon har hittat på? Många skulle gissa att det blir noll, andra oändligt.
Hur många gånger får det plats?
Division är en fråga: hur många gånger får ett tal plats i ett annat? 6 / 2 betyder hur många gånger du kan ta två godisbitar från en hög med sex tills inget är kvar. Tre gånger, så 6 / 2 = 3.
Kontroll med multiplikation
Varje division kan kontrolleras med multiplikation: svaret gånger det vi delade med måste ge tillbaka det ursprungliga talet. 6 / 2 = 3 stämmer, eftersom 3 · 2 = 6. Tre par godisbitar blir sex igen.
Hur många gånger får noll plats?
Nu 6 / 0. Hur många gånger kan du ta noll godisbitar från sex tills inget är kvar? Högen blir inte mindre, och varken tusen eller en miljon gånger räcker: du blir aldrig klar.
Kontrollen går inte ihop
Vi gör kontrollen: vi letar efter ett tal som gånger noll blir sex. Men allt gånger noll är noll: 7 · 0 = 0, 100 · 0 = 0 och 0 · 0 = 0. Något sådant tal finns inte, inte ens noll.
Noll delat med noll
Med 0 / 0 är det tvärtom. Vi letar efter ett tal som gånger noll blir noll, och det klarar precis alla tal: 5 · 0 = 0 och 1 000 · 0 = 0. Det finns oändligt många svar, och inget har större rätt än de andra.
Och oändligheten då?
Inget vanligt tal fungerar, men hur är det med oändligheten, något som är större än alla tal? Försök dela med allt mindre bitar: 0,1 får plats tio gånger i en etta, 0,01 hundra gånger och 0,001 tusen gånger. Ju närmare noll biten är, desto fler gånger får den plats, och det utan gräns.
Från andra hållet
Men man kan också närma sig noll från de negativa talen: 1 / (−0,1) = −10, 1 / (−0,01) = −100. Där rasar svaret ner bland de negativa talen, återigen utan gräns. Man kan alltså inte ens säga om 1 / 0 skulle vara ett jättestort positivt tal eller ett jättestort negativt.
Kolla själv
Öppna räknaren i mobilen och dela ett med 0,001, sedan med −0,001 och till sist med 0,000001. Det blir 1 000, −1 000 och en miljon. Men försök dela med noll, så visar räknaren fel igen.
Om vi ändå tillät det?
2 · 0 = 3 · 0 stämmer, båda leden är noll. Om vi fick dela med noll skulle vi dela båda leden med den och få kvar 2 = 3. Så fort vi tillåter division med noll kan man på det här sättet ”bevisa” vad som helst.
Så varför kan man inte dela med noll?
Svaret på en division är det tal som gånger det man delar med ger tillbaka det ursprungliga talet. För 6 / 0 finns inget sådant, för 0 / 0 passar alla, och med oändligheten vet vi inte ens om den är positiv eller negativ. Det är inget godtyckligt förbud: inget svar är helt enkelt rimligt.