De ce minus ori minus dă plus?

La școală se învață pe de rost: minus ori minus dă plus, deci (−3) · (−2) = 6. Pare o regulă inventată de cineva care putea la fel de bine să aleagă −6. Numai că alegerea nu e chiar atât de liberă.

Înmulțirea înseamnă salturi

Pe axa numerelor, numerele pozitive stau la dreapta lui zero, iar cele negative la stânga. Trei ori doi înseamnă trei salturi de câte doi: de la zero la 2, 4 și 6. Primul număr spune de câte ori sari, al doilea cât de lung e saltul și în ce direcție.

Salturi înapoi

Trei ori minus doi înseamnă trei salturi de câte minus doi, adică spre stânga: la −2, −4 și −6. Pozitiv ori negativ dă negativ. Ordinea numerelor nu contează, așa că și negativ ori pozitiv dă negativ: (−3) · 2 = −6.

Un șir care continuă

Scade numărul salturilor și urmărește rezultatul: cu fiecare salt mai puțin crește cu 2. Ce înseamnă „minus un salt” salturile nu spun, dar șirul spune: dacă merge la fel mai departe, iese (−1) · (−2) = 2 și la final (−3) · (−2) = 6.

Mașina merge înainte

O mașină merge înainte cu 2 metri pe secundă, fiecare secundă e un salt de 2 metri. Peste 3 secunde va fi la 3 · 2 = 6 metri în fața locului unde e acum. Acum 3 secunde, la momentul −3, era la (−3) · 2 = −6, adică șase metri în spate.

Mașina dă înapoi

Acum mașina dă înapoi cu −2 metri pe secundă. Peste 3 secunde va fi la 3 · (−2) = −6, șase metri în spate. Dar acum 3 secunde era șase metri în față, deci ca socoteala să iasă, (−3) · (−2) trebuie să dea 6.

Verifică singur

Filmează-te cu telefonul mergând cu spatele și pornește clipul invers. În clip mergi înainte: mersul cu spatele e o viteză negativă, redarea inversă e un timp negativ, iar împreună dau mișcare înainte.

Desfacerea parantezei

De la școală știi desfacerea parantezelor: (3 + 4) · 2 = 3 · 2 + 4 · 2. Pe axă se vede: șapte salturi de câte doi ajung acolo unde ajung trei salturi și apoi încă patru. Pe asta se sprijină aproape orice transformare a unei expresii, așa că vrem să meargă și pentru numerele negative.

Dacă ar fi −6

În (3 + (−3)) · (−2), în paranteză e zero, deci rezultatul e zero. Desfăcând paranteza, iese 3 · (−2) + (−3) · (−2) = −6 + (−3) · (−2), iar asta dă zero doar dacă (−3) · (−2) = 6. Cu −6, aceeași expresie ar da o dată 0 și altă dată −12.

Deci de ce minus ori minus dă plus?

Pentru că orice alt rezultat ar strica socotelile care funcționează pentru numerele pozitive: șirul multiplilor s-ar rupe, mașina care dă înapoi ar ajunge în locul greșit, iar parantezele nu s-ar mai putea desface. Minus ori minus dă plus ca regulile să fie aceleași pentru toate numerele.