Quantas pessoas bastam para que duas façam aniversário no mesmo dia?
Quantas pessoas bastam?
Quantas pessoas precisam estar numa sala para que seja mais provável achar duas com o mesmo aniversário do que não achar? O ano tem 365 dias, então a maioria chuta uns 180.
Não é sobre o seu aniversário
Um chute de uns 180 é meio ano, como se alguém tivesse que acertar o seu aniversário. Mas basta que quaisquer duas pessoas da sala coincidam, mesmo duas que você nem conhece. É uma pergunta completamente diferente.
Quantos pares existem?
Cada par de pessoas é uma chance de coincidência. A primeira de 10 pessoas forma par com as outras 9, a segunda com mais 8, e assim por diante: 45 pares no total. Com 30 pessoas já são 435: os pares aumentam muito mais rápido que as pessoas.
Um par quase nunca acerta
A chance de duas pessoas específicas fazerem aniversário no mesmo dia é pequena: 1 em 365, cerca de 0,3%. Mas entre 30 pessoas existem 435 pares assim, e basta que um único acerte. Quanto dá tudo junto?
Não dá para somar
As chances dos pares não podem ser simplesmente somadas: com 28 pessoas há 378 pares, e daria mais de cem por cento. É mais fácil calcular o contrário, a chance de ninguém coincidir, e subtraí-la de cem por cento. O que sobra é a chance de pelo menos duas coincidirem.
Cada nova pessoa precisa desviar
A segunda pessoa precisa fazer aniversário em outro dia que não o da primeira, e para isso tem 364 de 365 dias. A terceira precisa evitar dois dias ocupados, a quarta, três. A segunda e a terceira e a quarta precisam errar ao mesmo tempo, então cada uma corta um pedaço do que sobrou.
Metade com 23
Esses pedaços se multiplicam, e cada nova pessoa corta mais, porque há cada vez mais dias ocupados. Com 23 pessoas, a chance de todas errarem cai abaixo da metade. Então, num grupo de 23 pessoas, é mais provável que duas façam aniversário no mesmo dia do que não.
E quem faz aniversário junto comigo?
Para alguém fazer aniversário exatamente no mesmo dia que você, você precisa de mais 253 pessoas, e mesmo assim a chance é de só 50%. É o mesmo número de pares entre 23 pessoas: nos dois casos são necessárias umas 253 chances de coincidência.
Quanto mais gente, mais certo
Numa turma de 30 crianças, a chance de coincidência é de uns 70%; com 50 pessoas, de 97%; e com 70 pessoas a coincidência é quase certa. Esses números altos não têm nada de estranho: o número de pares é que cresce rápido.
Confira você mesmo
Pergunte os aniversários numa turma ou no trabalho onde haja pelo menos 25 pessoas, sem contar gêmeos. A chance de achar duas com o mesmo dia é de mais da metade. Quem testar em vários grupos vai achar coincidência mais ou menos em um a cada dois.
Então, quantas pessoas bastam?
Bastam 23. Ninguém precisa acertar o seu aniversário, qualquer par serve, e entre 23 pessoas existem 253 pares. Cada um tem uma chance pequena, mas basta um único acerto: a chance de todos os 253 pares errarem é menor que a metade.