Por que menos vezes menos dá mais?

Na escola se decora: menos vezes menos dá mais, então (−3) × (−2) = 6. Parece uma regra que alguém inventou e que poderia muito bem ter escolhido −6. Mas não é uma escolha tão livre assim.

Multiplicar é pular

Na reta numérica, os números positivos ficam à direita do zero e os negativos, à esquerda. Três vezes dois são três pulos de dois: do zero para 2, 4 e 6. O primeiro número diz quantas vezes você pula; o segundo, o tamanho do pulo e para que lado.

Pulos para trás

Três vezes menos dois são três pulos de menos dois, ou seja, para a esquerda: para −2, −4 e −6. Positivo vezes negativo dá negativo. A ordem dos números não importa, então negativo vezes positivo também dá negativo: (−3) × 2 = −6.

Uma sequência que continua

Tire pulos e observe o resultado: a cada pulo a menos, ele aumenta 2. O que é “menos um pulo”, os pulos não dizem, mas a sequência diz: se ela continuar igual, dá (−1) × (−2) = 2 e, no fim, (−3) × (−2) = 6.

O carro anda para a frente

Um carro anda para a frente a 2 metros por segundo; cada segundo é um pulo de 2 metros. Daqui a 3 segundos, ele vai estar 3 × 2 = 6 metros à frente de onde está agora. Há 3 segundos, no tempo −3, ele estava em (−3) × 2 = −6, seis metros atrás.

O carro dá ré

Agora o carro dá ré a −2 metros por segundo. Daqui a 3 segundos, vai estar em 3 × (−2) = −6, seis metros atrás. Mas há 3 segundos ele estava seis metros à frente, então, para a conta fechar, (−3) × (−2) tem que dar 6.

Confira você mesmo

Filme-se com o celular andando de costas e veja o vídeo de trás para a frente. No vídeo, você vai para a frente: andar de costas é velocidade negativa, o vídeo ao contrário é tempo negativo, e juntos dão um movimento para a frente.

Aplicar a distributiva

Da escola você conhece a propriedade distributiva: (3 + 4) × 2 = 3 × 2 + 4 × 2. Na reta dá para ver: sete pulos de dois chegam aonde chegam três pulos e depois mais quatro. Quase toda manipulação de expressões depende disso, então queremos que valha também para os números negativos.

Se fosse −6

Em (3 + (−3)) × (−2), o parêntese vale zero, então o resultado é zero. Aplicando a distributiva, dá 3 × (−2) + (−3) × (−2) = −6 + (−3) × (−2), e isso só dá zero se (−3) × (−2) = 6. Com −6, a mesma expressão daria 0 de um jeito e −12 do outro.

Então, por que menos vezes menos dá mais?

Porque qualquer outro resultado quebraria as contas que funcionam com os números positivos: a sequência de múltiplos se partiria, o carro de ré iria parar no lugar errado e não daria para aplicar a distributiva. Menos vezes menos dá mais para que as regras valham igual para todos os números.