Por que não podemos dividir por zero?
A calculadora dá erro
Digite 6 ÷ 0 numa calculadora e, em vez de um resultado, você recebe um erro. É só uma regra que alguém inventou? Muita gente apostaria que dá zero, e outros, infinito.
Quantas vezes cabe?
Dividir é uma pergunta: quantas vezes um número cabe em outro? 6 ÷ 2 quer dizer quantas vezes você tira duas balas de um montinho de seis até não sobrar nada. Três vezes, então 6 ÷ 2 = 3.
A prova real
Toda divisão pode ser conferida com uma multiplicação: o resultado vezes o número pelo qual dividimos tem que devolver o número original. 6 ÷ 2 = 3 está certo, porque 3 × 2 = 6. Três pares de balas dão seis de novo.
Quantas vezes cabe o zero?
Agora 6 ÷ 0. Quantas vezes você tira zero balas de um montinho de seis até não sobrar nada? O montinho não diminui, e nem mil nem um milhão de vezes bastam: você nunca termina.
A prova não fecha
Vamos tirar a prova: procuramos um número que, multiplicado por zero, dê seis. Só que qualquer coisa vezes zero é zero: 7 × 0 = 0, 100 × 0 = 0 e 0 × 0 = 0. Esse número não existe, nem o zero.
Zero dividido por zero
Com 0 ÷ 0 é o contrário. Procuramos um número que, multiplicado por zero, dê zero, e absolutamente qualquer um serve: 5 × 0 = 0 e 1.000 × 0 = 0. Existem infinitos resultados, e nenhum tem mais direito que os outros.
E o infinito?
Nenhum número comum serve, mas e o infinito, algo maior que qualquer número? Tente dividir por pedaços cada vez menores: 0,1 cabe no um dez vezes, 0,01 cem vezes e 0,001 mil vezes. Quanto mais perto de zero está o pedaço, mais vezes ele cabe, e sem limite.
Do outro lado
Mas dá para chegar perto do zero também pelos números negativos: 1 ÷ (−0,1) = −10, 1 ÷ (−0,01) = −100. Aí o resultado despenca para os negativos, de novo sem limite. Então não dá nem para dizer se 1 ÷ 0 seria um número positivo enorme ou um negativo enorme.
Confira você mesmo
Abra a calculadora do celular e divida um por 0,001, depois por −0,001 e por fim por 0,000001. Dá 1.000, −1.000 e um milhão. Mas tente dividir por zero, e a calculadora vai dar erro de novo.
E se permitíssemos?
2 × 0 = 3 × 0 é verdade: os dois lados são zero. Se pudéssemos dividir por zero, dividiríamos os dois lados por ele e sobraria 2 = 3. Assim que permitimos dividir por zero, dá para “provar” qualquer coisa desse jeito.
Então, por que não podemos dividir por zero?
O resultado de uma divisão é o número que, multiplicado pelo divisor, devolve o número original. Para 6 ÷ 0 não existe nenhum, para 0 ÷ 0 qualquer um serve, e com o infinito nem sabemos se ele é positivo ou negativo. Não é uma proibição arbitrária: simplesmente nenhuma resposta faz sentido.