Ile osób wystarczy, żeby dwie miały urodziny tego samego dnia?
Ile osób wystarczy?
Ile osób musi być w pokoju, żeby raczej znalazły się dwie z tymi samymi urodzinami, niż żeby się nie znalazły? Rok ma 365 dni, więc większość ludzi strzela, że około 180.
Nie chodzi o twoje urodziny
Strzał około 180 to pół roku, jakby ktoś musiał trafić w twoje urodziny. Tymczasem wystarczy, że urodziny pokryją się u dowolnych dwóch osób w pokoju, nawet takich, których w ogóle nie znasz. To zupełnie inne pytanie.
Ile jest par
Każda para osób to jedna szansa na wspólne urodziny. Pierwsza z 10 osób tworzy parę z 9 pozostałymi, druga z kolejnymi 8 i tak dalej, razem 45 par. Przy 30 osobach jest ich już 435: par przybywa dużo szybciej niż osób.
Jedna para prawie nigdy nie trafia
Szansa, że dwie konkretne osoby mają urodziny tego samego dnia, jest mała: jeden na 365, około trzech dziesiątych procenta. Ale wśród 30 osób takich par jest 435 i wystarczy, że trafi jedna. Ile to daje razem?
Nie da się tego dodać
Szans poszczególnych par nie da się po prostu zsumować: przy 28 osobach jest 378 par i wyszłoby ponad sto procent. Łatwiej policzyć odwrotnie szansę, że nikt nie trafi, i odjąć ją od stu procent. To, co zostanie, jest szansą, że trafią przynajmniej dwie osoby.
Każdy kolejny musi zrobić unik
Druga osoba musi mieć urodziny innego dnia niż pierwsza, ma na to 364 dni z 365. Trzecia musi ominąć dwa zajęte dni, czwarta trzy. Rozminąć się muszą druga i zarazem trzecia, i zarazem czwarta, więc każda odkraja kawałek z tego, co zostało.
Połowa przy 23
Te kawałki się mnożą, a każdy kolejny odkraja więcej, bo zajętych dni przybywa. Przy 23 osobach szansa, że wszyscy się rozminą, spada poniżej połowy. Dlatego w grupie 23 osób raczej dwie obchodzą urodziny tego samego dnia, niż nie.
A kto ma urodziny razem ze mną?
Żeby ktoś miał urodziny dokładnie tego samego dnia co ty, potrzebujesz 253 innych osób, i nawet wtedy szansa wynosi tylko 50%. To ta sama liczba co liczba par wśród 23 osób: w obu przypadkach potrzeba mniej więcej 253 szans na trafienie.
Im więcej osób, tym pewniej
W klasie z 30 dziećmi szansa na wspólne urodziny wynosi około 70%, przy 50 osobach 97%, a przy 70 osobach jest to prawie pewne. W tych dużych liczbach nie ma nic dziwnego, po prostu par szybko przybywa.
Sprawdź to sam
Zapytaj o urodziny w klasie albo w pracy, gdzie jest co najmniej 25 osób, nie licząc bliźniąt. Szansa, że znajdą się dwie z tym samym dniem, jest większa niż połowa. Kto spróbuje w kilku grupach, trafi na wspólne urodziny mniej więcej w co drugiej.
To ile osób wystarczy?
Wystarczą 23. Nikt nie musi trafić w twoje urodziny, wystarczy dowolna para, a wśród 23 osób par jest 253. Każda ma małą szansę, ale wystarczy jedno trafienie: szansa, że wszystkie 253 pary się rozminą, jest mniejsza niż połowa.