Dlaczego minus razy minus daje plus?

W szkole uczymy się tego na pamięć: minus razy minus daje plus, więc (−3) · (−2) = 6. Wygląda to na regułę, którą ktoś wymyślił i równie dobrze mógł wybrać −6. Tyle że wybór wcale nie jest taki dowolny.

Mnożenie to skoki

Na osi liczbowej liczby dodatnie leżą na prawo od zera, a ujemne na lewo. Trzy razy dwa to trzy skoki po dwa: z zera na 2, 4 i 6. Pierwsza liczba mówi, ile razy skaczesz, druga, jak długi jest skok i w którą stronę.

Skoki do tyłu

Trzy razy minus dwa to trzy skoki po minus dwa, czyli w lewo: na −2, −4 i −6. Dodatnia razy ujemna daje ujemną. Kolejność liczb nie ma znaczenia, więc ujemna razy dodatnia też daje ujemną: (−3) · 2 = −6.

Ciąg, który biegnie dalej

Odejmuj skoki i patrz na wynik: z każdym skokiem mniej rośnie o 2. Czym jest „minus jeden skok”, skoki nie powiedzą, ale ciąg tak: jeśli biegnie dalej tak samo, wychodzi (−1) · (−2) = 2, a na koniec (−3) · (−2) = 6.

Samochód jedzie do przodu

Samochód jedzie do przodu z prędkością 2 metrów na sekundę, każda sekunda to jeden skok o 2 metry. Za 3 sekundy będzie 3 · 2 = 6 metrów przed miejscem, w którym jest teraz. 3 sekundy temu, w chwili −3, był w (−3) · 2 = −6, czyli sześć metrów z tyłu.

Samochód cofa

Teraz samochód cofa z prędkością −2 metrów na sekundę. Za 3 sekundy będzie w 3 · (−2) = −6, sześć metrów z tyłu. Ale 3 sekundy temu był sześć metrów z przodu, więc żeby rachunek się zgadzał, (−3) · (−2) musi dać 6.

Sprawdź to sam

Nagraj się telefonem, jak idziesz tyłem, i puść film od końca. Na filmie idziesz do przodu: chodzenie tyłem to ujemna prędkość, puszczanie od końca to ujemny czas, a razem daje to ruch do przodu.

Wymnażanie nawiasu

Ze szkoły znasz wymnażanie nawiasu: (3 + 4) · 2 = 3 · 2 + 4 · 2. Na osi to widać: siedem skoków po dwa dochodzi tam, gdzie trzy skoki i po nich cztery kolejne. Opiera się na tym prawie każde przekształcenie wyrażenia, więc chcemy, żeby działało też dla liczb ujemnych.

Gdyby to było −6

W (3 + (−3)) · (−2) w nawiasie jest zero, więc wychodzi zero. Po wymnożeniu wychodzi 3 · (−2) + (−3) · (−2) = −6 + (−3) · (−2), a to daje zero tylko wtedy, gdy (−3) · (−2) = 6. Przy −6 to samo wyrażenie dałoby raz 0, a raz −12.

To dlaczego minus razy minus daje plus?

Bo każdy inny wynik zepsułby rachunki, które działają dla liczb dodatnich: ciąg wielokrotności by się załamał, cofający samochód wyszedłby nam w złym miejscu, a nawiasów nie dałoby się wymnażać. Minus razy minus daje plus, żeby reguły działały tak samo dla wszystkich liczb.