Hvorfor blir minus ganger minus pluss?

På skolen pugger man det: minus ganger minus blir pluss, altså (−3) · (−2) = 6. Det ser ut som en regel noen har funnet på og like gjerne kunne valgt −6. Men valget er ikke så fritt.

Ganging er hopp

På tallinjen ligger de positive tallene til høyre for null og de negative til venstre. Tre ganger to er tre hopp på to: fra null til 2, 4 og 6. Det første tallet sier hvor mange ganger du hopper, det andre hvor langt hoppet er og hvilken vei.

Hopp bakover

Tre ganger minus to er tre hopp på minus to, altså mot venstre: til −2, −4 og −6. Positivt ganger negativt blir negativt. Rekkefølgen spiller ingen rolle, så negativt ganger positivt blir også negativt: (−3) · 2 = −6.

En tallrekke som fortsetter

Ta bort hopp og se på svaret: for hvert hopp færre blir det 2 større. Hva «minus ett hopp» er, sier ikke hoppene, men tallrekken gjør det: fortsetter den på samme måte, blir det (−1) · (−2) = 2 og til slutt (−3) · (−2) = 6.

Bilen kjører framover

En bil kjører framover med 2 meter i sekundet, hvert sekund er et hopp på 2 meter. Om 3 sekunder er den 3 · 2 = 6 meter foran stedet der den er nå. For 3 sekunder siden, ved tiden −3, var den ved (−3) · 2 = −6, altså seks meter bak.

Bilen rygger

Nå rygger bilen med −2 meter i sekundet. Om 3 sekunder er den ved 3 · (−2) = −6, seks meter bak. Men for 3 sekunder siden var den seks meter foran, så for at regnestykket skal gå opp, må (−3) · (−2) bli 6.

Sjekk det selv

Film deg selv med mobilen mens du går baklengs, og spill av videoen baklengs. I videoen går du framover: å gå baklengs er negativ fart, å spille baklengs er negativ tid, og sammen gir de bevegelse framover.

Gange inn i parentesen

På skolen har du lært å gange inn i en parentes: (3 + 4) · 2 = 3 · 2 + 4 · 2. På tallinjen ser du det: sju hopp på to lander der tre hopp og så fire til lander. Nesten all omforming av uttrykk bygger på dette, så vi vil at det skal gjelde for negative tall også.

Hvis det var −6

I (3 + (−3)) · (−2) er parentesen null, så svaret blir null. Ganger man inn, får man 3 · (−2) + (−3) · (−2) = −6 + (−3) · (−2), og det blir null bare hvis (−3) · (−2) = 6. Med −6 ville det samme uttrykket blitt 0 den ene gangen og −12 den andre.

Så hvorfor blir minus ganger minus pluss?

Fordi et hvilket som helst annet svar ville ødelagt regningen som virker for positive tall: rekken av multipler ville brutt sammen, bilen som rygger, ville havnet på feil sted, og man kunne ikke gange inn i parenteser. Minus ganger minus blir pluss for at reglene skal gjelde likt for alle tall.