Hoeveel mensen zijn er nodig voordat twee op dezelfde dag jarig zijn?
Hoeveel mensen zijn er nodig?
Hoeveel mensen moeten er in een kamer zijn zodat je eerder twee met dezelfde verjaardag vindt dan niet? Een jaar heeft 365 dagen, dus de meeste mensen gokken rond de 180.
Het gaat niet om jouw verjaardag
Een gok van rond de 180 is een half jaar, alsof iemand op jouw dag jarig moet zijn. Maar het is al genoeg als twee willekeurige mensen in de kamer samen jarig zijn, ook twee die je helemaal niet kent. Dat is een heel andere vraag.
Hoeveel tweetallen zijn er?
Elk tweetal is één kans op een gedeelde verjaardag. De eerste van 10 mensen vormt een tweetal met de 9 anderen, de tweede met nog 8, enzovoort: samen 45 tweetallen. Bij 30 mensen zijn het er al 435: tweetallen nemen veel sneller toe dan mensen.
Eén tweetal is bijna nooit raak
De kans dat twee bepaalde mensen op dezelfde dag jarig zijn, is klein: 1 op 365, ongeveer drie tiende procent. Maar onder 30 mensen zijn er 435 van zulke tweetallen, en er hoeft er maar één raak te zijn. Wat levert dat samen op?
Optellen kan niet
De kansen van de tweetallen kun je niet zomaar optellen: bij 28 mensen zijn er 378 tweetallen en dan kom je boven de honderd procent uit. Makkelijker is het omgekeerde: bereken de kans dat niemand raak is en trek die af van honderd procent. Wat overblijft, is de kans dat minstens twee samen jarig zijn.
Elke volgende moet uitwijken
De tweede persoon moet op een andere dag jarig zijn dan de eerste, en heeft daarvoor 364 van de 365 dagen. De derde moet twee bezette dagen ontwijken, de vierde drie. De tweede en de derde en de vierde moeten allemaal missen, dus elk snijdt een stukje af van wat er nog over is.
De helft bij 23
Die stukjes worden met elkaar vermenigvuldigd, en elke volgende snijdt meer af, omdat er steeds meer dagen bezet zijn. Bij 23 mensen zakt de kans dat iedereen mist onder de helft. In een groep van 23 mensen zijn er dus eerder twee op dezelfde dag jarig dan niet.
En wie is er op mijn dag jarig?
Om iemand te vinden die precies op dezelfde dag jarig is als jij, heb je 253 andere mensen nodig, en zelfs dan is de kans maar 50%. Dat is hetzelfde getal als het aantal tweetallen bij 23 mensen: in beide gevallen heb je ongeveer 253 kansen op een treffer nodig.
Hoe meer mensen, hoe zekerder
In een klas met 30 kinderen is de kans op een gedeelde verjaardag ongeveer 70%, bij 50 mensen 97% en bij 70 mensen is het bijna zeker. Die hoge getallen zijn niets bijzonders: het aantal tweetallen groeit gewoon snel.
Controleer het zelf
Vraag naar verjaardagen in een klas of op je werk waar minstens 25 mensen zijn; tweelingen tellen niet mee. De kans dat er twee op dezelfde dag jarig zijn, is meer dan de helft. Wie het in meerdere groepen probeert, vindt ongeveer in de helft ervan een gedeelde verjaardag.
Dus hoeveel mensen zijn er nodig?
23 is genoeg. Niemand hoeft op jouw dag jarig te zijn, elk tweetal is goed, en bij 23 mensen zijn er 253 tweetallen. Elk heeft maar een kleine kans, maar één treffer is genoeg: de kans dat alle 253 tweetallen missen, is kleiner dan de helft.