Waarom is min keer min plus?

Op school leer je het uit je hoofd: min keer min is plus, dus (−3) × (−2) = 6. Het lijkt een regel die iemand heeft verzonnen, en hij had net zo goed −6 kunnen kiezen. Maar zo vrij is die keuze niet.

Vermenigvuldigen is springen

Op de getallenlijn liggen positieve getallen rechts van nul en negatieve links. Drie keer twee is drie sprongen van twee: van nul naar 2, 4 en 6. Het eerste getal zegt hoe vaak je springt, het tweede hoe lang een sprong is en welke kant op.

Achteruit springen

Drie keer min twee is drie sprongen van min twee, dus naar links: naar −2, −4 en −6. Positief keer negatief is negatief. De volgorde van de getallen maakt niet uit, dus negatief keer positief is ook negatief: (−3) × 2 = −6.

Een rij die doorloopt

Haal sprongen weg en kijk naar de uitkomst: met elke sprong minder wordt die 2 groter. Wat “min één sprong” is, vertellen de sprongen niet, de rij wel: als die zo doorloopt, krijg je (−1) × (−2) = 2 en ten slotte (−3) × (−2) = 6.

De auto rijdt vooruit

Een auto rijdt vooruit met 2 meter per seconde; elke seconde is een sprong van 2 meter. Over 3 seconden staat hij 3 × 2 = 6 meter voor de plek waar hij nu is. 3 seconden geleden, op tijdstip −3, stond hij op (−3) × 2 = −6, zes meter erachter.

De auto rijdt achteruit

Nu rijdt de auto achteruit met −2 meter per seconde. Over 3 seconden staat hij op 3 × (−2) = −6, zes meter erachter. Maar 3 seconden geleden stond hij zes meter ervoor, dus om de som te laten kloppen moet (−3) × (−2) gelijk zijn aan 6.

Controleer het zelf

Film jezelf terwijl je achteruitloopt en speel de video achterstevoren af. Daarin loop je vooruit: achteruitlopen is een negatieve snelheid, achterstevoren afspelen een negatieve tijd, en samen geeft dat beweging vooruit.

Haakjes wegwerken

Van school ken je het wegwerken van haakjes: (3 + 4) × 2 = 3 × 2 + 4 × 2. Op de getallenlijn zie je het: zeven sprongen van twee komen uit waar drie sprongen en daarna nog vier uitkomen. Bijna elke herleiding steunt hierop, dus willen we dat het ook voor negatieve getallen werkt.

Als het −6 was

In (3 + (−3)) × (−2) staat tussen de haakjes nul, dus de uitkomst is nul. Haakjes wegwerken geeft 3 × (−2) + (−3) × (−2) = −6 + (−3) × (−2), en dat is alleen nul als (−3) × (−2) = 6. Met −6 zou dezelfde uitdrukking de ene keer 0 en de andere keer −12 opleveren.

Dus waarom is min keer min plus?

Omdat elke andere uitkomst het rekenen zou kapotmaken dat voor positieve getallen werkt: de rij veelvouden zou breken, de achteruitrijdende auto zou op de verkeerde plek uitkomen en haakjes zouden niet weg te werken zijn. Min keer min is plus, zodat de regels voor alle getallen hetzelfde werken.