Waarom kun je niet delen door nul?
De rekenmachine geeft een fout
Typ 6 : 0 in een rekenmachine en in plaats van een uitkomst krijg je een foutmelding. Is dat gewoon een regel die iemand heeft verzonnen? Veel mensen zouden gokken dat er nul uitkomt, anderen oneindig.
Hoe vaak past het erin?
Delen is een vraag: hoe vaak past het ene getal in het andere? 6 : 2 betekent hoe vaak je twee snoepjes van een hoopje van zes kunt pakken tot er niets meer over is. Drie keer, dus 6 : 2 = 3.
Controleren met vermenigvuldigen
Elke deling kun je controleren met vermenigvuldigen: de uitkomst keer het getal waardoor we deelden, moet het oorspronkelijke getal weer opleveren. 6 : 2 = 3 klopt, want 3 × 2 = 6. Drie paar snoepjes zijn weer zes.
Hoe vaak past nul erin?
Nu 6 : 0. Hoe vaak kun je nul snoepjes van een hoopje van zes pakken tot er niets meer over is? Het hoopje wordt niet kleiner, en duizend of zelfs een miljoen keer is niet genoeg: je bent nooit klaar.
De controle klopt niet
Laten we controleren: we zoeken een getal dat keer nul zes oplevert. Maar alles keer nul is nul: 7 × 0 = 0, 100 × 0 = 0 en 0 × 0 = 0. Zo’n getal bestaat niet, ook nul niet.
Nul gedeeld door nul
Bij 0 : 0 is het andersom. We zoeken een getal dat keer nul nul oplevert, en dat doet echt elk getal: 5 × 0 = 0 en 1.000 × 0 = 0. Er zijn oneindig veel uitkomsten, en geen enkele heeft meer recht dan de andere.
En oneindig dan?
Geen gewoon getal werkt, maar hoe zit het met oneindig, iets groters dan elk getal? Probeer te delen door steeds kleinere stukjes: 0,1 past tien keer in één, 0,01 honderd keer en 0,001 duizend keer. Hoe dichter het stukje bij nul komt, hoe vaker het erin past, en dat eindeloos.
Van de andere kant
Maar je kunt nul ook naderen vanuit de negatieve getallen: 1 : (−0,1) = −10, 1 : (−0,01) = −100. Daar duikt de uitkomst de negatieve getallen in, weer eindeloos ver. Je kunt dus niet eens zeggen of 1 : 0 een enorm positief of een enorm negatief getal zou zijn.
Controleer het zelf
Open de rekenmachine op je telefoon en deel één door 0,001, dan door −0,001 en ten slotte door 0,000001. Je krijgt 1.000, −1.000 en een miljoen. Maar probeer door nul te delen en de rekenmachine geeft weer een foutmelding.
En als het toch mocht?
2 × 0 = 3 × 0 klopt: beide kanten zijn nul. Als we door nul mochten delen, deelden we beide kanten erdoor en bleef 2 = 3 over. Zodra we delen door nul toestaan, kun je zo alles “bewijzen”.
Dus waarom kun je niet delen door nul?
De uitkomst van een deling is het getal dat keer de deler het oorspronkelijke getal weer oplevert. Bij 6 : 0 is er geen, bij 0 : 0 past elk getal, en bij oneindig weten we niet eens of het positief of negatief is. Het is geen willekeurig verbod: geen enkel antwoord is zinvol.