何人集まれば、誕生日が同じ2人がいる？

何人いればいい？

部屋に何人いれば、誕生日が同じ2人がいる確率のほうが、いない確率より高くなるでしょう？ 1年は365日なので、ほとんどの人は180人くらいと予想します。

180人くらいという予想は半年分で、まるでだれかが自分の誕生日に当たらなければいけないかのようです。でも実際は、部屋のだれでもいいから2人の誕生日が同じならよいのです。まったく知らない2人でもかまいません。これはまったく別の問題です。

2人組の1つ1つが、誕生日が重なるチャンスです。10人のうち1人目は残りの9人と組になり、2人目はさらに8人と組になり、と続けると、全部で45組です。30人なら435組にもなります。2人組の数は、人数よりずっと速く増えるのです。

特定の2人の誕生日が同じになる確率は小さく、365分の1、およそ0.3%です。でも30人の中にはそんな2人組が435組あり、そのうち1組でも当たればよいのです。全部合わせるとどれくらいになるでしょう？

2人組の確率をそのまま足すことはできません。28人なら378組あるので、足すと100%を超えてしまいます。逆に「だれも重ならない確率」を計算して、100%から引くほうが簡単です。その残りが「少なくとも2人が重なる確率」です。

2人目の誕生日は1人目と違う日でなければならず、使える日は365日中364日です。3人目はすでにふさがった2日を、4人目は3日を避けなければなりません。2人目も3人目も4人目もみんな外れる必要があるので、1人ごとに残りから少しずつ削られていきます。

この割合は次々にかけ合わされ、ふさがった日が増えるほど、1人ごとに削られる量も大きくなります。23人になると、全員が重ならない確率が半分を下回ります。つまり23人の集まりでは、誕生日が同じ2人がいる確率のほうが高いのです。

自分とちょうど同じ日が誕生日の人を見つけるには、ほかに253人が必要で、それでも確率は50%にすぎません。これは23人の中の2人組の数と同じです。どちらの場合も、重なるチャンスがおよそ253回必要なのです。

30人のクラスなら誕生日が重なる確率はおよそ70%、50人なら97%、70人ならほぼ確実です。こうした大きな数字に不思議なことは何もありません。2人組の数がどんどん増えるだけです。

25人以上いるクラスや職場で、誕生日を聞いてみましょう。ふたごは数えません。誕生日が同じ2人が見つかる確率は半分以上です。いくつかのグループで試すと、だいたい2つに1つで重なりが見つかります。

23人で十分です。だれかが自分の誕生日に当たる必要はなく、どんな2人組でもよいのです。23人なら2人組は253組あります。1組ごとのチャンスは小さくても、1組当たれば十分で、253組すべてが外れる確率は半分より小さいのです。