Perché meno per meno fa più?

A scuola lo si impara a memoria: meno per meno fa più, quindi (−3) × (−2) = 6. Sembra una regola inventata da qualcuno che avrebbe potuto scegliere anche −6. Ma la scelta non è così libera.

Moltiplicare è saltare

Sulla retta dei numeri i positivi stanno a destra dello zero e i negativi a sinistra. Tre per due sono tre salti da due: da zero a 2, 4 e 6. Il primo numero dice quante volte salti, il secondo quanto è lungo il salto e in che direzione.

Salti all’indietro

Tre per meno due sono tre salti da meno due, cioè verso sinistra: a −2, −4 e −6. Positivo per negativo fa negativo. L’ordine dei numeri non conta, quindi anche negativo per positivo fa negativo: (−3) × 2 = −6.

Una serie che continua

Togli salti e guarda il risultato: a ogni salto in meno cresce di 2. Che cosa sia «meno un salto» i salti non lo dicono, la serie sì: se continua allo stesso modo, viene (−1) × (−2) = 2 e alla fine (−3) × (−2) = 6.

L’auto va avanti

Un’auto va avanti a 2 metri al secondo: ogni secondo è un salto di 2 metri. Tra 3 secondi sarà 3 × 2 = 6 metri più avanti di dove si trova ora. 3 secondi fa, al tempo −3, era a (−3) × 2 = −6, cioè sei metri indietro.

L’auto va in retromarcia

Ora l’auto va in retromarcia a −2 metri al secondo. Tra 3 secondi sarà a 3 × (−2) = −6, sei metri indietro. Ma 3 secondi fa era sei metri avanti, quindi perché i conti tornino, (−3) × (−2) deve fare 6.

Verifica da solo

Riprenditi col telefono mentre cammini all’indietro e guarda il video al contrario. Nel video vai avanti: camminare all’indietro è velocità negativa, il video al contrario è tempo negativo e insieme danno un moto in avanti.

La proprietà distributiva

A scuola hai imparato la proprietà distributiva: (3 + 4) × 2 = 3 × 2 + 4 × 2. Sulla retta si vede: sette salti da due arrivano dove arrivano tre salti e poi altri quattro. Quasi ogni passaggio di calcolo si basa su questo, quindi vogliamo che valga anche per i numeri negativi.

Se facesse −6

In (3 + (−3)) × (−2) la parentesi vale zero, quindi viene zero. Applicando la distributiva viene 3 × (−2) + (−3) × (−2) = −6 + (−3) × (−2), e questo fa zero solo se (−3) × (−2) = 6. Con −6 la stessa espressione verrebbe una volta 0 e l’altra −12.

Allora, perché meno per meno fa più?

Perché qualsiasi altro risultato romperebbe i conti che funzionano con i numeri positivi: la serie dei multipli si spezzerebbe, l’auto in retromarcia finirebbe nel posto sbagliato e la proprietà distributiva non varrebbe più. Meno per meno fa più perché le regole valgano allo stesso modo per tutti i numeri.