Perché non si può dividere per zero?
La calcolatrice dà errore
Digita 6 : 0 sulla calcolatrice e invece di un risultato ottieni un errore. È solo una regola che qualcuno si è inventato? Molti scommetterebbero che viene zero, altri infinito.
Quante volte ci sta?
La divisione è una domanda: quante volte un numero ci sta in un altro? 6 : 2 vuol dire quante volte puoi togliere due caramelle da un mucchio di sei prima che non ne resti nessuna. Tre volte, quindi 6 : 2 = 3.
La prova con la moltiplicazione
Ogni divisione si può verificare con una moltiplicazione: il risultato moltiplicato per il numero per cui abbiamo diviso deve ridare il numero di partenza. 6 : 2 = 3 è giusto, perché 3 × 2 = 6. Tre coppie di caramelle fanno di nuovo sei.
Quante volte ci sta lo zero?
Ora 6 : 0. Quante volte puoi togliere zero caramelle da un mucchio di sei prima che non ne resti nessuna? Il mucchio non si rimpicciolisce, e non bastano né mille né un milione di volte: non finisci mai.
La prova non torna
Facciamo la prova: cerchiamo un numero che moltiplicato per zero dia sei. Ma qualsiasi cosa per zero fa zero: 7 × 0 = 0, 100 × 0 = 0 e 0 × 0 = 0. Un numero così non esiste, nemmeno lo zero.
Zero diviso zero
Con 0 : 0 è il contrario. Cerchiamo un numero che moltiplicato per zero dia zero, e ci riesce proprio qualsiasi numero: 5 × 0 = 0 e 1000 × 0 = 0. I risultati sono infiniti e nessuno ha più diritto degli altri.
E l’infinito?
Nessun numero normale va bene, ma che dire dell’infinito, qualcosa di più grande di ogni numero? Prova a dividere per pezzi sempre più piccoli: 0,1 sta nell’uno dieci volte, 0,01 cento volte e 0,001 mille volte. Più il pezzo si avvicina allo zero, più volte ci sta, e senza limiti.
Dall’altra parte
Ma allo zero ci si può avvicinare anche dai numeri negativi: 1 : (−0,1) = −10, 1 : (−0,01) = −100. Lì il risultato precipita nei negativi, di nuovo senza limiti. Quindi non si può nemmeno dire se 1 : 0 sarebbe un numero positivo enorme o uno negativo enorme.
Verifica da solo
Apri la calcolatrice del telefono e dividi uno per 0,001, poi per −0,001 e infine per 0,000001. Vengono 1000, −1000 e un milione. Ma prova a dividere per zero e la calcolatrice darà di nuovo errore.
E se lo permettessimo lo stesso?
2 × 0 = 3 × 0 è vero: entrambi i lati fanno zero. Se potessimo dividere per zero, divideremmo per zero entrambi i lati e resterebbe 2 = 3. Appena permettiamo di dividere per zero, così si può «dimostrare» qualsiasi cosa.
Allora, perché non si può dividere per zero?
Il risultato di una divisione è il numero che, moltiplicato per il divisore, ridà il numero di partenza. Per 6 : 0 non ce n’è nessuno, per 0 : 0 va bene qualsiasi, e con l’infinito non sappiamo nemmeno se è positivo o negativo. Non è un divieto arbitrario: semplicemente nessuna risposta ha senso.