Miért nem lehet nullával osztani?
A számológép hibát jelez
Üsd be a számológépbe, hogy 6 : 0, és eredmény helyett hibát kapsz. Ez csak egy szabály, amit valaki kitalált? Sokan arra tippelnének, hogy nulla jön ki, mások, hogy végtelen.
Hányszor fér bele?
Az osztás egy kérdés: hányszor fér bele az egyik szám a másikba? A 6 : 2 azt jelenti, hányszor vehetsz el kettőt egy hat cukorkából álló kupacból, amíg el nem fogy. Háromszor, tehát 6 : 2 = 3.
Ellenőrzés szorzással
Minden osztást ellenőrizni lehet szorzással: az eredmény szorozva azzal, amivel osztottunk, vissza kell adnia az eredeti számot. A 6 : 2 = 3 helyes, mert 3 · 2 = 6. Három pár cukorka megint hat.
Hányszor fér bele a nulla?
Most jöjjön a 6 : 0. Hányszor vehetsz el hat cukorkából nulla cukorkát, amíg el nem fogy? A kupac nem lesz kisebb, és nem elég se ezerszer, se milliószor: sosem érsz a végére.
Az ellenőrzés nem jön ki
Próbáljuk meg az ellenőrzést: olyan számot keresünk, amely nullával szorozva hatot ad. Csakhogy bármi szorozva nullával nulla: 7 · 0 = 0, 100 · 0 = 0 és 0 · 0 = 0. Ilyen szám nincs, még a nulla sem az.
Nulla osztva nullával
A 0 : 0 esetében fordított a helyzet. Olyan számot keresünk, amely nullával szorozva nullát ad, ezt pedig minden szám teljesíti: 5 · 0 = 0 és 1000 · 0 = 0. Végtelen sok eredmény van, és egyiknek sincs több joga, mint a többinek.
És a végtelen?
Egyetlen közönséges szám sem jó, de mi a helyzet a végtelennel, vagyis valamivel, ami minden számnál nagyobb? Próbálj egyre kisebb darabokkal osztani: a 0,1 tízszer fér bele az egybe, a 0,01 százszor, a 0,001 pedig ezerszer. Minél közelebb van a darab a nullához, annál többször fér bele, mégpedig határ nélkül.
A másik oldalról
A nullához azonban a negatív számok felől is közelíthetünk: 1 : (−0,1) = −10, 1 : (−0,01) = −100. Ott az eredmény a negatív számok felé zuhan, megint határ nélkül. Így azt sem lehet megmondani, hogy az 1 : 0 óriási pozitív vagy óriási negatív szám lenne-e.
Ellenőrizd magad
Nyisd meg a telefonod számológépét, és oszd el az egyet 0,001-del, aztán −0,001-del, végül 0,000001-del. Az eredmény 1000, −1000 és egymillió. De próbálj nullával osztani, és a számológép megint hibát jelez.
És ha mégis megengednénk?
Igaz, hogy 2 · 0 = 3 · 0, mindkét oldal nulla. Ha szabad lenne nullával osztani, mindkét oldalt elosztanánk vele, és 2 = 3 maradna. Amint megengedjük a nullával való osztást, így bármit „be lehet bizonyítani”.
Szóval miért nem lehet nullával osztani?
Az osztás eredménye az a szám, amely az osztóval szorozva visszaadja az eredeti számot. A 6 : 0 esetében ilyen nincs, a 0 : 0 esetében bármelyik jó, a végtelennél pedig azt sem tudjuk, pozitív-e vagy negatív. Ez nem önkényes tilalom: egyszerűen egyik válasznak sincs értelme.