Miért plusz a mínusz szor mínusz?

Az iskolában kívülről tanuljuk: mínusz szor mínusz az plusz, tehát (−3) · (−2) = 6. Olyan szabálynak tűnik, amit valaki kitalált, és akár a −6-ot is választhatta volna. A választás azonban nem ennyire szabad.

Szorzás ugrásokkal

A számegyenesen a pozitív számok a nullától jobbra vannak, a negatívak balra. Háromszor kettő három kettes ugrás: a nullától 2-re, 4-re és 6-ra. Az első szám megmondja, hányszor ugrasz, a második, hogy milyen hosszú az ugrás és merre.

Ugrások visszafelé

Háromszor mínusz kettő három mínusz kettes ugrás, vagyis balra: −2-re, −4-re és −6-ra. Pozitív szor negatív az negatív. A sorrend nem számít, így negatív szor pozitív is negatív: (−3) · 2 = −6.

Egy sor, ami folytatódik

Hagyd el egyenként az ugrásokat, és figyeld az eredményt: minden elhagyott ugrással 2-vel nő. Hogy mi a „mínusz egy ugrás”, azt az ugrások nem mondják meg, a sor viszont igen: ha ugyanúgy folytatódik, (−1) · (−2) = 2 jön ki, végül pedig (−3) · (−2) = 6.

Az autó előre megy

Egy autó másodpercenként 2 métert halad előre, minden másodperc egy 2 méteres ugrás. 3 másodperc múlva 3 · 2 = 6 méterrel lesz előrébb, mint most. 3 másodperccel ezelőtt, a −3 időpontban a (−3) · 2 = −6 pontban volt, vagyis hat méterrel hátrébb.

Az autó tolat

Most az autó tolat, a sebessége −2 méter másodpercenként. 3 másodperc múlva a 3 · (−2) = −6 pontban lesz, hat méterrel hátrébb. 3 másodperccel ezelőtt viszont hat méterrel előrébb volt, így ahhoz, hogy a számolás stimmeljen, (−3) · (−2) csak 6 lehet.

Ellenőrizd magad

Vedd fel a telefonoddal, ahogy hátrafelé sétálsz, és játszd le a videót visszafelé. A videón előre mész: a hátrafelé járás negatív sebesség, a visszafelé lejátszás negatív idő, és a kettő együtt előre mozgást ad.

A zárójel felbontása

Az iskolából ismered a zárójel felbontását: (3 + 4) · 2 = 3 · 2 + 4 · 2. A számegyenesen látszik: hét kettes ugrás oda jut, ahova három ugrás, majd még négy. Szinte minden algebrai átalakítás erre épül, ezért azt akarjuk, hogy a negatív számokra is működjön.

Ha −6 lenne

A (3 + (−3)) · (−2) kifejezésben a zárójelben nulla van, tehát nulla jön ki. Felbontva 3 · (−2) + (−3) · (−2) = −6 + (−3) · (−2) adódik, és ez csak akkor nulla, ha (−3) · (−2) = 6. A −6-tal ugyanez a kifejezés egyszer 0, máskor −12 lenne.

Szóval miért plusz a mínusz szor mínusz?

Mert bármilyen más eredmény elrontaná a számolást, ami a pozitív számokra működik: a többszörösök sora megtörne, a tolató autó rossz helyen lenne, és a zárójeleket nem lehetne felbontani. A mínusz szor mínusz azért plusz, hogy a szabályok minden számra ugyanúgy érvényesek legyenek.