Pourquoi moins par moins donne-t-il plus ?
Pourquoi moins par moins donne-t-il plus ?
À l’école, on l’apprend par cœur : moins par moins donne plus, donc (−3) × (−2) = 6. On dirait une règle inventée par quelqu’un qui aurait aussi bien pu choisir −6. Mais le choix n’est pas si libre.
Multiplier, c’est sauter
Sur la droite graduée, les nombres positifs sont à droite de zéro et les négatifs à gauche. Trois fois deux, ce sont trois sauts de deux : de zéro à 2, 4 et 6. Le premier nombre dit combien de fois tu sautes, le second, la longueur de chaque saut et son sens.
Des sauts en arrière
Trois fois moins deux, ce sont trois sauts de moins deux, donc vers la gauche : à −2, −4 et −6. Positif par négatif donne négatif. L’ordre des nombres ne compte pas, donc négatif par positif donne aussi négatif : (−3) × 2 = −6.
Une suite qui continue
Enlève des sauts et regarde le résultat : à chaque saut en moins, il augmente de 2. Ce qu’est « moins un saut », les sauts ne le disent pas, mais la suite si : si elle continue de la même façon, on obtient (−1) × (−2) = 2 et enfin (−3) × (−2) = 6.
La voiture avance
Une voiture avance à 2 mètres par seconde, chaque seconde est un saut de 2 mètres. Dans 3 secondes, elle sera à 3 × 2 = 6 mètres devant l’endroit où elle est maintenant. Il y a 3 secondes, à l’instant −3, elle était à (−3) × 2 = −6, six mètres derrière.
La voiture recule
Maintenant la voiture recule à −2 mètres par seconde. Dans 3 secondes, elle sera à 3 × (−2) = −6, six mètres derrière. Mais il y a 3 secondes, elle était six mètres devant, donc pour que le calcul tienne, (−3) × (−2) doit donner 6.
Vérifie par toi-même
Filme-toi avec ton téléphone en marchant à reculons, puis passe la vidéo à l’envers. Dans la vidéo, tu avances : marcher à reculons, c’est une vitesse négative, passer la vidéo à l’envers, un temps négatif, et ensemble cela donne un mouvement vers l’avant.
Développer une parenthèse
Tu connais la distributivité depuis l’école : (3 + 4) × 2 = 3 × 2 + 4 × 2. Sur la droite graduée, ça se voit : sept sauts de deux arrivent là où arrivent trois sauts puis quatre autres. Presque tout calcul littéral repose là-dessus, alors on veut que ça marche aussi pour les nombres négatifs.
Si ça donnait −6
Dans (3 + (−3)) × (−2), la parenthèse vaut zéro, donc le résultat est zéro. En développant, on obtient 3 × (−2) + (−3) × (−2) = −6 + (−3) × (−2), ce qui ne fait zéro que si (−3) × (−2) = 6. Avec −6, la même expression donnerait une fois 0 et l’autre fois −12.
Alors, pourquoi moins par moins donne-t-il plus ?
Parce que tout autre résultat casserait le calcul qui marche pour les nombres positifs : la suite des multiples serait rompue, la voiture qui recule finirait au mauvais endroit et on ne pourrait plus développer les parenthèses. Moins par moins donne plus pour que les règles soient les mêmes pour tous les nombres.