Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro ?
La calculatrice affiche une erreur
Tape 6 : 0 sur une calculatrice : au lieu d’un résultat, tu obtiens une erreur. Est-ce juste une règle que quelqu’un a inventée ? Beaucoup de gens parieraient sur zéro, d’autres sur l’infini.
Combien de fois ça rentre ?
Diviser, c’est poser une question : combien de fois un nombre rentre-t-il dans un autre ? 6 : 2, c’est combien de fois tu peux retirer deux bonbons d’un tas de six avant qu’il n’en reste plus. Trois fois, donc 6 : 2 = 3.
La preuve par la multiplication
Toute division se vérifie par une multiplication : le résultat multiplié par le nombre par lequel on a divisé doit redonner le nombre de départ. 6 : 2 = 3 est juste, car 3 × 2 = 6. Trois paires de bonbons redonnent bien six.
Combien de fois rentre zéro ?
Maintenant 6 : 0. Combien de fois peux-tu retirer zéro bonbon d’un tas de six avant qu’il n’en reste plus ? Le tas ne diminue pas, et ni mille ni un million de fois ne suffisent : tu n’en finiras jamais.
La preuve ne marche pas
Faisons la preuve : on cherche un nombre qui, multiplié par zéro, donne six. Mais tout nombre fois zéro fait zéro : 7 × 0 = 0, 100 × 0 = 0 et 0 × 0 = 0. Un tel nombre n’existe pas, pas même zéro.
Zéro divisé par zéro
Avec 0 : 0, c’est l’inverse. On cherche un nombre qui, multiplié par zéro, donne zéro, et absolument tous conviennent : 5 × 0 = 0 et 1 000 × 0 = 0. Il y a une infinité de résultats, et aucun n’est plus légitime que les autres.
Et l’infini ?
Aucun nombre ordinaire ne convient, mais pourquoi pas l’infini, quelque chose de plus grand que tout nombre ? Essaie de diviser par des morceaux de plus en plus petits : 0,1 rentre dix fois dans 1, 0,01 cent fois et 0,001 mille fois. Plus le morceau est proche de zéro, plus il rentre de fois, et cela sans limite.
De l’autre côté
Mais on peut aussi s’approcher de zéro par les nombres négatifs : 1 : (−0,1) = −10, 1 : (−0,01) = −100. Là, le résultat plonge dans les négatifs, là encore sans limite. On ne peut donc même pas dire si 1 : 0 serait un énorme nombre positif ou un énorme nombre négatif.
Vérifie par toi-même
Ouvre la calculatrice de ton téléphone et divise 1 par 0,001, puis par −0,001 et enfin par 0,000001. Tu obtiens 1 000, −1 000 et un million. Mais essaie de diviser par zéro, et la calculatrice affiche de nouveau une erreur.
Et si on l’autorisait quand même ?
2 × 0 = 3 × 0 est vrai : les deux côtés valent zéro. Si on avait le droit de diviser par zéro, on les diviserait tous deux par zéro et il resterait 2 = 3. Dès qu’on autorise la division par zéro, on peut ainsi « démontrer » n’importe quoi.
Alors, pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro ?
Le résultat d’une division, c’est le nombre qui, multiplié par le diviseur, redonne le nombre de départ. Pour 6 : 0, il n’y en a aucun ; pour 0 : 0, tous conviennent ; et avec l’infini, on ne sait même pas s’il est positif ou négatif. Ce n’est pas une interdiction arbitraire : aucune réponse n’a de sens.