Miksi miinus kertaa miinus on plus?

Koulussa se opetellaan ulkoa: miinus kertaa miinus on plus, siis (−3) · (−2) = 6. Se näyttää jonkun keksimältä säännöltä, jossa olisi yhtä hyvin voinut valita −6:n. Valinta ei kuitenkaan ole niin vapaa.

Kertolasku on hyppyjä

Lukusuoralla positiiviset luvut ovat nollan oikealla puolella ja negatiiviset vasemmalla. Kolme kertaa kaksi on kolme kahden pituista hyppyä: nollasta lukuihin 2, 4 ja 6. Ensimmäinen luku kertoo, montako kertaa hyppäät, toinen, kuinka pitkä hyppy on ja mihin suuntaan.

Hyppyjä taaksepäin

Kolme kertaa miinus kaksi on kolme miinus kahden pituista hyppyä, siis vasemmalle: lukuihin −2, −4 ja −6. Positiivinen kertaa negatiivinen on negatiivinen. Järjestyksellä ei ole väliä, joten myös negatiivinen kertaa positiivinen on negatiivinen: (−3) · 2 = −6.

Jono, joka jatkuu

Vähennä hyppyjä yksi kerrallaan ja katso tulosta: se kasvaa joka kerta 2:lla. Mitä ”miinus yksi hyppy” on, sitä hypyt eivät kerro, mutta lukujono kertoo: jos se jatkuu samoin, tulee (−1) · (−2) = 2 ja lopulta (−3) · (−2) = 6.

Auto ajaa eteenpäin

Auto ajaa eteenpäin 2 metriä sekunnissa, joten jokainen sekunti on 2 metrin hyppy. 3 sekunnin päästä se on 3 · 2 = 6 metriä edempänä kuin nyt. 3 sekuntia sitten, hetkellä −3, se oli kohdassa (−3) · 2 = −6 eli kuusi metriä takana.

Auto peruuttaa

Nyt auto peruuttaa nopeudella −2 metriä sekunnissa. 3 sekunnin päästä se on kohdassa 3 · (−2) = −6, kuusi metriä takana. Mutta 3 sekuntia sitten se oli kuusi metriä edessä, joten jotta lasku täsmäisi, täytyy olla (−3) · (−2) = 6.

Tarkista itse

Kuvaa puhelimella itsesi kävelemässä takaperin ja toista video takaperin. Videolla kävelet eteenpäin: takaperin kävely on negatiivinen nopeus, takaperin toisto negatiivinen aika, ja yhdessä ne antavat liikkeen eteenpäin.

Sulkeiden avaaminen

Koulusta tunnet sulkeiden avaamisen: (3 + 4) · 2 = 3 · 2 + 4 · 2. Lukusuoralla sen näkee: seitsemän kahden pituista hyppyä päätyy samaan kohtaan kuin kolme hyppyä ja sitten vielä neljä. Melkein jokainen lausekkeen muokkaus nojaa tähän, joten haluamme sen pätevän myös negatiivisilla luvuilla.

Jos tulos olisi −6

Lausekkeessa (3 + (−3)) · (−2) sulkeissa on nolla, joten tulos on nolla. Sulkeet avaamalla saadaan 3 · (−2) + (−3) · (−2) = −6 + (−3) · (−2), ja se on nolla vain, jos (−3) · (−2) = 6. Jos tulos olisi −6, sama lauseke antaisi yhdellä tavalla 0 ja toisella −12.

Miksi siis miinus kertaa miinus on plus?

Koska mikä tahansa muu tulos rikkoisi laskut, jotka toimivat positiivisilla luvuilla: monikertojen jono katkeaisi, peruuttava auto päätyisi väärään kohtaan eikä sulkeita voisi avata. Miinus kertaa miinus on plus, jotta säännöt pätisivät samoin kaikille luvuille.