¿Por qué menos por menos da más?
¿Por qué menos por menos da más?
En el colegio se aprende de memoria: menos por menos da más, así que (−3) × (−2) = 6. Parece una regla que se inventó alguien que igual podría haber elegido −6. Pero la elección no es tan libre.
Multiplicar es saltar
En la recta numérica, los números positivos están a la derecha del cero y los negativos a la izquierda. Tres por dos son tres saltos de dos: del cero al 2, al 4 y al 6. El primer número dice cuántas veces saltas; el segundo, lo largo que es el salto y hacia dónde.
Saltos hacia atrás
Tres por menos dos son tres saltos de menos dos, o sea, hacia la izquierda: al −2, al −4 y al −6. Positivo por negativo da negativo. El orden de los números no importa, así que negativo por positivo también da negativo: (−3) × 2 = −6.
Una serie que sigue
Quita saltos y fíjate en el resultado: con cada salto menos, aumenta en 2. Qué es «menos un salto» no lo dicen los saltos, pero la serie sí: si sigue igual, sale (−1) × (−2) = 2 y al final (−3) × (−2) = 6.
El coche va hacia delante
Un coche avanza a 2 metros por segundo; cada segundo es un salto de 2 metros. Dentro de 3 segundos estará 3 × 2 = 6 metros por delante de donde está ahora. Hace 3 segundos, en el tiempo −3, estaba en (−3) × 2 = −6, seis metros por detrás.
El coche da marcha atrás
Ahora el coche da marcha atrás a −2 metros por segundo. Dentro de 3 segundos estará en 3 × (−2) = −6, seis metros por detrás. Pero hace 3 segundos estaba seis metros por delante, así que, para que las cuentas cuadren, (−3) × (−2) tiene que dar 6.
Compruébalo tú mismo
Grábate con el móvil andando hacia atrás y pon el vídeo al revés. En el vídeo avanzas: andar hacia atrás es velocidad negativa, ponerlo al revés es tiempo negativo, y juntos dan un movimiento hacia delante.
Quitar paréntesis
Del colegio conoces la propiedad distributiva: (3 + 4) × 2 = 3 × 2 + 4 × 2. En la recta se ve: siete saltos de dos llegan adonde llegan tres saltos y luego otros cuatro. En eso se basan casi todos los cálculos con expresiones, así que queremos que valga también para los números negativos.
Si fuera −6
En (3 + (−3)) × (−2) el paréntesis vale cero, así que sale cero. Aplicando la distributiva sale 3 × (−2) + (−3) × (−2) = −6 + (−3) × (−2), y eso solo da cero si (−3) × (−2) = 6. Con −6, la misma expresión daría 0 por un lado y −12 por otro.
Entonces, ¿por qué menos por menos da más?
Porque cualquier otro resultado rompería las cuentas que funcionan con los números positivos: la serie de múltiplos se partiría, el coche que da marcha atrás acabaría en el sitio equivocado y los paréntesis no se podrían quitar. Menos por menos da más para que las reglas valgan igual para todos los números.