Γιατί πλην επί πλην κάνει συν;
Γιατί πλην επί πλην κάνει συν;
Στο σχολείο το μαθαίνουμε απ’ έξω: πλην επί πλην κάνει συν, άρα (−3) × (−2) = 6. Μοιάζει με κανόνα που κάποιος επινόησε και θα μπορούσε κάλλιστα να είχε διαλέξει το −6. Η επιλογή όμως δεν είναι τόσο ελεύθερη.
Ο πολλαπλασιασμός είναι άλματα
Στην αριθμογραμμή οι θετικοί αριθμοί βρίσκονται δεξιά από το μηδέν και οι αρνητικοί αριστερά. Τρία επί δύο είναι τρία άλματα κατά δύο: από το μηδέν στο 2, στο 4 και στο 6. Ο πρώτος αριθμός λέει πόσες φορές πηδάς, ο δεύτερος πόσο μεγάλο είναι το άλμα και προς τα πού.
Άλματα προς τα πίσω
Τρία επί πλην δύο είναι τρία άλματα κατά πλην δύο, δηλαδή προς τα αριστερά: στο −2, στο −4 και στο −6. Θετικός επί αρνητικό κάνει αρνητικό. Η σειρά των αριθμών δεν έχει σημασία, άρα και αρνητικός επί θετικό κάνει αρνητικό: (−3) × 2 = −6.
Μια σειρά που συνεχίζεται
Λιγόστευε τα άλματα και κοίτα το αποτέλεσμα: με κάθε άλμα λιγότερο μεγαλώνει κατά 2. Τι είναι το «πλην ένα άλμα» δεν το λένε τα άλματα, το λέει όμως η σειρά: αν συνεχίσει με τον ίδιο τρόπο, βγαίνει (−1) × (−2) = 2 και στο τέλος (−3) × (−2) = 6.
Το αυτοκίνητο πάει μπροστά
Ένα αυτοκίνητο πηγαίνει μπροστά με 2 μέτρα το δευτερόλεπτο· κάθε δευτερόλεπτο είναι ένα άλμα 2 μέτρων. Σε 3 δευτερόλεπτα θα είναι 3 × 2 = 6 μέτρα μπροστά από το σημείο όπου είναι τώρα. Πριν από 3 δευτερόλεπτα, τη χρονική στιγμή −3, ήταν στο (−3) × 2 = −6, δηλαδή έξι μέτρα πίσω.
Το αυτοκίνητο κάνει όπισθεν
Τώρα το αυτοκίνητο κάνει όπισθεν με −2 μέτρα το δευτερόλεπτο. Σε 3 δευτερόλεπτα θα είναι στο 3 × (−2) = −6, έξι μέτρα πίσω. Πριν από 3 δευτερόλεπτα όμως ήταν έξι μέτρα μπροστά, άρα για να βγαίνει ο λογαριασμός, το (−3) × (−2) πρέπει να κάνει 6.
Έλεγξέ το κι εσύ
Τράβηξε με το κινητό βίντεο που περπατάς προς τα πίσω και παίξε το ανάποδα. Στο βίντεο πας μπροστά: η κίνηση προς τα πίσω είναι αρνητική ταχύτητα, η ανάποδη αναπαραγωγή αρνητικός χρόνος, και μαζί δίνουν κίνηση μπροστά.
Επιμεριστική ιδιότητα
Από το σχολείο ξέρεις την επιμεριστική ιδιότητα: (3 + 4) × 2 = 3 × 2 + 4 × 2. Στην αριθμογραμμή φαίνεται: επτά άλματα κατά δύο φτάνουν εκεί όπου τρία άλματα και μετά άλλα τέσσερα. Σε αυτό στηρίζεται σχεδόν κάθε μετασχηματισμός παράστασης, γι’ αυτό θέλουμε να ισχύει και για τους αρνητικούς.
Αν έκανε −6
Στο (3 + (−3)) × (−2) η παρένθεση κάνει μηδέν, άρα βγαίνει μηδέν. Με την επιμεριστική βγαίνει 3 × (−2) + (−3) × (−2) = −6 + (−3) × (−2), και αυτό κάνει μηδέν μόνο αν (−3) × (−2) = 6. Με −6 η ίδια παράσταση θα έβγαινε τη μία φορά 0 και την άλλη −12.
Λοιπόν, γιατί πλην επί πλην κάνει συν;
Γιατί οποιοδήποτε άλλο αποτέλεσμα θα χαλούσε τις πράξεις που ισχύουν για τους θετικούς αριθμούς: η σειρά των πολλαπλασίων θα έσπαγε, το αυτοκίνητο με την όπισθεν θα βρισκόταν σε λάθος σημείο και η επιμεριστική ιδιότητα δεν θα ίσχυε. Πλην επί πλην κάνει συν, για να ισχύουν οι κανόνες το ίδιο για όλους τους αριθμούς.