Πόσοι άνθρωποι χρειάζονται για να έχουν δύο γενέθλια την ίδια μέρα;
Πόσοι άνθρωποι χρειάζονται;
Πόσοι άνθρωποι πρέπει να είναι σε ένα δωμάτιο ώστε να είναι πιο πιθανό να βρεθούν δύο με τα ίδια γενέθλια παρά όχι; Ο χρόνος έχει 365 μέρες, οπότε οι περισσότεροι μαντεύουν γύρω στους 180.
Δεν πρόκειται για τα δικά σου γενέθλια
Η εκτίμηση γύρω στους 180 είναι μισός χρόνος, σαν να έπρεπε κάποιος να πέσει ακριβώς στα δικά σου γενέθλια. Αρκεί όμως να έχουν την ίδια μέρα οποιοιδήποτε δύο στο δωμάτιο, ακόμα και δύο που δεν τους ξέρεις καθόλου. Είναι εντελώς άλλο ερώτημα.
Πόσα ζευγάρια υπάρχουν;
Κάθε ζευγάρι ανθρώπων είναι μία ευκαιρία για σύμπτωση. Ο πρώτος από 10 ανθρώπους κάνει ζευγάρι με τους άλλους 9, ο δεύτερος με άλλους 8 και ούτω καθεξής, συνολικά 45 ζευγάρια. Με 30 ανθρώπους είναι ήδη 435: τα ζευγάρια αυξάνονται πολύ πιο γρήγορα από τους ανθρώπους.
Ένα ζευγάρι σχεδόν ποτέ δεν πετυχαίνει
Η πιθανότητα δύο συγκεκριμένοι άνθρωποι να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα είναι μικρή: μία στις 365, περίπου τρία δέκατα του τοις εκατό. Όμως ανάμεσα σε 30 ανθρώπους υπάρχουν 435 τέτοια ζευγάρια, και αρκεί να πετύχει ένα μόνο. Πόσο κάνουν όλα μαζί;
Δεν προστίθενται
Οι πιθανότητες των ζευγαριών δεν προστίθενται απλώς: με 28 ανθρώπους υπάρχουν 378 ζευγάρια και θα έβγαινε πάνω από 100%. Πιο εύκολο είναι να υπολογίσεις ανάποδα την πιθανότητα να μη συμπέσουν γενέθλια και να την αφαιρέσεις από το 100%. Ό,τι μένει είναι η πιθανότητα να συμπέσουν τουλάχιστον δύο.
Κάθε επόμενος πρέπει να ξεφύγει
Ο δεύτερος πρέπει να έχει γενέθλια άλλη μέρα από τον πρώτο, και γι’ αυτό έχει 364 μέρες από τις 365. Ο τρίτος πρέπει να αποφύγει δύο πιασμένες μέρες, ο τέταρτος τρεις. Πρέπει να αστοχήσουν ο δεύτερος και ταυτόχρονα ο τρίτος και ο τέταρτος, οπότε ο καθένας κόβει ένα κομμάτι από ό,τι έμεινε.
Το μισό στους 23
Αυτά τα κομμάτια πολλαπλασιάζονται, και κάθε επόμενο κόβει περισσότερο, γιατί οι πιασμένες μέρες αυξάνονται. Με 23 ανθρώπους η πιθανότητα να αστοχήσουν όλοι πέφτει κάτω από το μισό. Σε μια ομάδα 23 ανθρώπων είναι λοιπόν πιο πιθανό να έχουν δύο γενέθλια την ίδια μέρα παρά όχι.
Και ποιος έχει γενέθλια μαζί μου;
Για να έχει κάποιος γενέθλια ακριβώς την ίδια μέρα με σένα, χρειάζεσαι 253 άλλους ανθρώπους, και ακόμα και τότε η πιθανότητα είναι μόνο 50%. Είναι ο ίδιος αριθμός με τα ζευγάρια ανάμεσα σε 23 ανθρώπους: και στις δύο περιπτώσεις χρειάζονται περίπου 253 ευκαιρίες για σύμπτωση.
Όσο περισσότεροι, τόσο πιο σίγουρο
Σε μια τάξη με 30 παιδιά η πιθανότητα σύμπτωσης είναι περίπου 70%, με 50 ανθρώπους 97% και με 70 η σύμπτωση είναι σχεδόν σίγουρη. Αυτοί οι μεγάλοι αριθμοί δεν έχουν τίποτα παράξενο, απλώς τα ζευγάρια πληθαίνουν γρήγορα.
Έλεγξέ το κι εσύ
Ρώτα για τα γενέθλια σε μια τάξη ή στη δουλειά, όπου υπάρχουν τουλάχιστον 25 άνθρωποι, χωρίς να μετράς τα δίδυμα. Η πιθανότητα να βρεθούν δύο με την ίδια μέρα είναι πάνω από 50%. Όποιος το δοκιμάσει σε πολλές ομάδες θα βρει σύμπτωση περίπου σε μία στις δύο.
Λοιπόν, πόσοι άνθρωποι χρειάζονται;
Αρκούν 23. Δεν χρειάζεται κανείς να πέσει στα δικά σου γενέθλια, αρκεί οποιοδήποτε ζευγάρι, και ανάμεσα σε 23 ανθρώπους υπάρχουν 253 ζευγάρια. Το καθένα έχει μικρή πιθανότητα, αλλά αρκεί μία επιτυχία: η πιθανότητα να αστοχήσουν και τα 253 ζευγάρια είναι μικρότερη από το μισό.