Γιατί δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν;
Η αριθμομηχανή βγάζει σφάλμα
Πληκτρολόγησε 6 : 0 στην αριθμομηχανή και αντί για αποτέλεσμα θα πάρεις σφάλμα. Είναι απλώς ένας κανόνας που κάποιος επινόησε; Πολλοί θα έλεγαν ότι βγαίνει μηδέν, άλλοι άπειρο.
Πόσες φορές χωράει;
Η διαίρεση είναι μια ερώτηση: πόσες φορές χωράει ένας αριθμός σε έναν άλλον; Το 6 : 2 σημαίνει πόσες φορές βγάζεις δύο καραμέλες από έναν σωρό με έξι, μέχρι να μη μείνει τίποτα. Τρεις φορές, άρα 6 : 2 = 3.
Επαλήθευση με πολλαπλασιασμό
Κάθε διαίρεση επαληθεύεται με πολλαπλασιασμό: το αποτέλεσμα επί τον αριθμό με τον οποίο διαιρέσαμε πρέπει να δίνει πάλι τον αρχικό αριθμό. Το 6 : 2 = 3 ισχύει, γιατί 3 × 2 = 6. Τρία ζευγάρια καραμέλες κάνουν πάλι έξι.
Πόσες φορές χωράει το μηδέν;
Τώρα 6 : 0. Πόσες φορές βγάζεις μηδέν καραμέλες από τις έξι, μέχρι να μη μείνει τίποτα; Ο σωρός δεν μικραίνει και δεν φτάνουν ούτε χίλιες ούτε ένα εκατομμύριο φορές: δεν τελειώνεις ποτέ.
Η επαλήθευση αποτυγχάνει
Ας κάνουμε την επαλήθευση: ψάχνουμε έναν αριθμό που επί μηδέν να δίνει έξι. Όμως οτιδήποτε επί μηδέν κάνει μηδέν: 7 × 0 = 0, 100 × 0 = 0 και 0 × 0 = 0. Τέτοιος αριθμός δεν υπάρχει, ούτε καν το μηδέν.
Μηδέν διά μηδέν
Με το 0 : 0 συμβαίνει το αντίθετο. Ψάχνουμε έναν αριθμό που επί μηδέν να δίνει μηδέν, και αυτό το καταφέρνει απολύτως κάθε αριθμός: 5 × 0 = 0 και 1.000 × 0 = 0. Υπάρχουν άπειρα αποτελέσματα και κανένα δεν έχει περισσότερο δικαίωμα από τα άλλα.
Και το άπειρο;
Κανένας συνηθισμένος αριθμός δεν ταιριάζει, τι γίνεται όμως με το άπειρο, κάτι μεγαλύτερο από κάθε αριθμό; Δοκίμασε να διαιρείς με όλο και μικρότερα κομμάτια: το 0,1 χωράει στο ένα δέκα φορές, το 0,01 εκατό και το 0,001 χίλιες. Όσο πιο κοντά στο μηδέν είναι το κομμάτι, τόσο περισσότερες φορές χωράει, και μάλιστα χωρίς όριο.
Από την άλλη πλευρά
Στο μηδέν όμως μπορείς να πλησιάσεις και από τους αρνητικούς αριθμούς: 1 : (−0,1) = −10, 1 : (−0,01) = −100. Εκεί το αποτέλεσμα βουτάει στους αρνητικούς, πάλι χωρίς όριο. Έτσι δεν μπορούμε καν να πούμε αν το 1 : 0 θα ήταν ένας τεράστιος θετικός ή ένας τεράστιος αρνητικός αριθμός.
Έλεγξέ το κι εσύ
Άνοιξε την αριθμομηχανή στο κινητό και διαίρεσε το ένα με 0,001, μετά με −0,001 και στο τέλος με 0,000001. Βγαίνει 1.000, −1.000 και ένα εκατομμύριο. Δοκίμασε όμως να διαιρέσεις με το μηδέν και η αριθμομηχανή θα βγάλει πάλι σφάλμα.
Κι αν το επιτρέπαμε;
Ισχύει 2 × 0 = 3 × 0, και τα δύο μέλη είναι μηδέν. Αν επιτρεπόταν να διαιρούμε με το μηδέν, θα διαιρούσαμε και τα δύο μέλη με αυτό και θα έμενε 2 = 3. Μόλις επιτρέψουμε τη διαίρεση με το μηδέν, έτσι μπορεί να «αποδειχθεί» οτιδήποτε.
Λοιπόν, γιατί δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν;
Το αποτέλεσμα μιας διαίρεσης είναι ο αριθμός που, επί τον διαιρέτη, δίνει τον αρχικό αριθμό. Για το 6 : 0 δεν υπάρχει κανένας, για το 0 : 0 ταιριάζει οποιοσδήποτε, και με το άπειρο δεν ξέρουμε καν αν είναι θετικό ή αρνητικό. Δεν είναι αυθαίρετη απαγόρευση: απλώς καμία απάντηση δεν βγάζει νόημα.