Warum ist minus mal minus plus?

In der Schule lernt man es auswendig: Minus mal minus ist plus, also (−3) · (−2) = 6. Das sieht aus wie eine ausgedachte Regel – jemand hätte genauso gut −6 wählen können. So frei ist die Wahl aber nicht.

Malnehmen heißt Springen

Auf dem Zahlenstrahl liegen positive Zahlen rechts von der Null und negative links. Drei mal zwei sind drei Zweiersprünge: von null auf 2, 4 und 6. Die erste Zahl sagt, wie oft du springst, die zweite, wie lang ein Sprung ist und in welche Richtung.

Sprünge rückwärts

Drei mal minus zwei sind drei Sprünge um minus zwei, also nach links: auf −2, −4 und −6. Positiv mal negativ ist negativ. Auf die Reihenfolge kommt es nicht an, also ist auch negativ mal positiv negativ: (−3) · 2 = −6.

Eine Reihe, die weitergeht

Nimm Sprünge weg und schau aufs Ergebnis: Mit jedem Sprung weniger wird es um 2 größer. Was „minus ein Sprung“ ist, sagen die Sprünge nicht, die Reihe schon: Geht sie gleich weiter, kommt (−1) · (−2) = 2 heraus und schließlich (−3) · (−2) = 6.

Das Auto fährt vorwärts

Ein Auto fährt mit 2 Metern pro Sekunde vorwärts, jede Sekunde ist ein Sprung um 2 Meter. In 3 Sekunden ist es 3 · 2 = 6 Meter vor der Stelle, wo es jetzt ist. Vor 3 Sekunden, zum Zeitpunkt −3, war es bei (−3) · 2 = −6, also sechs Meter weiter hinten.

Das Auto fährt rückwärts

Jetzt fährt das Auto mit −2 Metern pro Sekunde rückwärts. In 3 Sekunden ist es bei 3 · (−2) = −6, sechs Meter weiter hinten. Vor 3 Sekunden war es aber sechs Meter weiter vorn. Damit die Rechnung stimmt, muss (−3) · (−2) also 6 ergeben.

Prüf es selbst nach

Film dich mit dem Handy, wie du rückwärtsgehst, und spiel das Video rückwärts ab. Im Video gehst du vorwärts: Rückwärtsgehen ist eine negative Geschwindigkeit, Rückwärtsabspielen eine negative Zeit, und zusammen ergibt das eine Bewegung nach vorn.

Klammern ausmultiplizieren

Aus der Schule kennst du das Ausmultiplizieren: (3 + 4) · 2 = 3 · 2 + 4 · 2. Auf dem Zahlenstrahl sieht man es: Sieben Zweiersprünge landen dort, wo drei Sprünge und danach vier weitere landen. Darauf beruht fast jede Umformung, also soll es auch für negative Zahlen gelten.

Wenn es −6 wäre

In (3 + (−3)) · (−2) steht in der Klammer null, also kommt null heraus. Ausmultipliziert ergibt sich 3 · (−2) + (−3) · (−2) = −6 + (−3) · (−2), und das ist nur dann null, wenn (−3) · (−2) = 6. Mit −6 käme derselbe Ausdruck einmal auf 0 und einmal auf −12.

Also: Warum ist minus mal minus plus?

Weil jedes andere Ergebnis das Rechnen kaputt machen würde, das für positive Zahlen gilt: Die Reihe der Vielfachen würde abreißen, das rückwärtsfahrende Auto stünde an der falschen Stelle und Klammern ließen sich nicht ausmultiplizieren. Minus mal minus ist plus, damit die Regeln für alle Zahlen gleich gelten.