Wie viele Leute braucht es, damit zwei am selben Tag Geburtstag haben?
Wie viele Leute braucht es?
Wie viele Leute müssen in einem Raum sein, damit sich eher zwei mit demselben Geburtstag finden als nicht? Ein Jahr hat 365 Tage, also tippen die meisten auf etwa 180.
Es geht nicht um deinen Geburtstag
Der Tipp von etwa 180 ist ein halbes Jahr, als müsste jemand deinen Geburtstag treffen. Es reicht aber, wenn irgendwelche zwei Leute im Raum denselben Geburtstag haben, auch zwei, die du gar nicht kennst. Das ist eine ganz andere Frage.
Wie viele Paare gibt es?
Jedes Paar ist eine Chance auf einen Treffer. Der Erste von 10 Leuten bildet mit den 9 anderen ein Paar, der Zweite mit weiteren 8 und so weiter, zusammen 45 Paare. Bei 30 Leuten sind es schon 435: Die Zahl der Paare wächst viel schneller als die der Leute.
Ein Paar trifft fast nie
Die Chance, dass zwei bestimmte Leute am selben Tag Geburtstag haben, ist klein: 1 zu 365, etwa drei Zehntel Prozent. Doch unter 30 Leuten gibt es 435 solcher Paare, und es reicht, dass ein einziges trifft. Was ergibt das zusammen?
Zusammenzählen geht nicht
Die Chancen der Paare lassen sich nicht einfach addieren: Bei 28 Leuten gibt es 378 Paare, und es kämen über hundert Prozent heraus. Einfacher ist es, umgekehrt die Chance zu berechnen, dass es keinen Treffer gibt, und sie von hundert Prozent abzuziehen. Was übrig bleibt, ist die Chance, dass mindestens zwei denselben Geburtstag haben.
Jeder Weitere muss ausweichen
Der Zweite muss an einem anderen Tag Geburtstag haben als der Erste, dafür bleiben ihm 364 von 365 Tagen. Der Dritte muss zwei belegten Tagen ausweichen, der Vierte drei. Der Zweite und der Dritte und der Vierte müssen alle danebenliegen, also schneidet jeder ein Stück von dem ab, was übrig ist.
Die Hälfte bei 23
Die Stücke werden multipliziert, und jedes weitere schneidet mehr ab, weil immer mehr Tage belegt sind. Bei 23 Leuten fällt die Chance, dass alle danebenliegen, unter die Hälfte. In einer Gruppe von 23 Leuten haben also eher zwei am selben Tag Geburtstag als nicht.
Und wer hat am selben Tag Geburtstag wie ich?
Damit jemand genau am selben Tag Geburtstag hat wie du, brauchst du 253 weitere Leute, und selbst dann ist die Chance nur 50 %. Das ist dieselbe Zahl wie die der Paare unter 23 Leuten: In beiden Fällen braucht es etwa 253 Chancen auf einen Treffer.
Je mehr Leute, desto sicherer
In einer Klasse mit 30 Kindern liegt die Chance auf einen Treffer bei etwa 70 %, bei 50 Leuten bei 97 %, und bei 70 Leuten ist ein Treffer fast sicher. Diese großen Zahlen sind nichts Besonderes, nur die Zahl der Paare wächst schnell.
Prüf es selbst nach
Frag in einer Klasse oder bei der Arbeit, wo mindestens 25 Leute sind, nach den Geburtstagen; Zwillinge zählen nicht. Die Chance, dass sich zwei mit demselben Tag finden, liegt über der Hälfte. Wer es in mehreren Gruppen versucht, findet ungefähr in jeder zweiten einen Treffer.
Also: Wie viele Leute braucht es?
23 reichen. Niemand muss deinen Geburtstag treffen, irgendein Paar genügt, und unter 23 Leuten gibt es 253 Paare. Jedes hat nur eine kleine Chance, aber ein einziger Treffer reicht: Die Chance, dass alle 253 Paare danebenliegen, ist kleiner als die Hälfte.