Warum darf man nicht durch null teilen?
Der Rechner meldet einen Fehler
Tipp 6 : 0 in den Taschenrechner, und statt eines Ergebnisses bekommst du einen Fehler. Ist das nur eine Regel, die sich jemand ausgedacht hat? Viele würden auf null tippen, andere auf unendlich.
Wie oft passt es hinein?
Teilen ist eine Frage: Wie oft passt eine Zahl in eine andere? 6 : 2 heißt, wie oft du von einem Haufen aus sechs Bonbons zwei wegnehmen kannst, bis nichts mehr übrig ist. Dreimal, also 6 : 2 = 3.
Die Probe mit Malnehmen
Jede Division lässt sich mit Malnehmen prüfen: Das Ergebnis mal die Zahl, durch die wir geteilt haben, muss wieder die Ausgangszahl ergeben. 6 : 2 = 3 stimmt, denn 3 · 2 = 6. Drei Paar Bonbons sind wieder sechs.
Wie oft passt null hinein?
Jetzt 6 : 0. Wie oft kannst du von sechs Bonbons null Bonbons wegnehmen, bis nichts mehr übrig ist? Der Haufen wird nicht kleiner, und weder tausendmal noch millionenmal reicht: Du wirst nie fertig.
Die Probe geht nicht auf
Machen wir die Probe: Wir suchen eine Zahl, die mal null sechs ergibt. Aber alles mal null ist null: 7 · 0 = 0, 100 · 0 = 0 und 0 · 0 = 0. So eine Zahl gibt es nicht, auch null nicht.
Null durch null
Bei 0 : 0 ist es umgekehrt. Wir suchen eine Zahl, die mal null genau null ergibt, und das schafft wirklich jede: 5 · 0 = 0 und 1.000 · 0 = 0. Es gibt unendlich viele Ergebnisse, und keines ist berechtigter als die anderen.
Und was ist mit unendlich?
Keine gewöhnliche Zahl passt, aber wie wäre es mit unendlich, also etwas Größerem als jede Zahl? Teil mal durch immer kleinere Stücke: 0,1 passt zehnmal in die Eins, 0,01 hundertmal und 0,001 tausendmal. Je näher das Stück an null ist, desto öfter passt es hinein, und zwar unbegrenzt.
Von der anderen Seite
Man kann sich null aber auch von den negativen Zahlen her nähern: 1 : (−0,1) = −10, 1 : (−0,01) = −100. Da stürzt das Ergebnis ins Negative, wieder unbegrenzt. Man kann also nicht einmal sagen, ob 1 : 0 eine riesige positive oder eine riesige negative Zahl wäre.
Probier es selbst
Öffne den Taschenrechner auf deinem Handy und teile eins durch 0,001, dann durch −0,001 und zuletzt durch 0,000001. Heraus kommen 1.000, −1.000 und eine Million. Teil aber durch null, und der Rechner meldet wieder einen Fehler.
Und wenn wir es doch erlauben?
2 · 0 = 3 · 0 stimmt, beide Seiten sind null. Dürften wir durch null teilen, könnten wir beide Seiten durch null teilen, und übrig bliebe 2 = 3. Sobald wir das Teilen durch null erlauben, lässt sich so alles „beweisen“.
Also: Warum darf man nicht durch null teilen?
Das Ergebnis einer Division ist die Zahl, die mit dem Teiler malgenommen wieder die Ausgangszahl ergibt. Bei 6 : 0 gibt es keine, bei 0 : 0 passt jede, und bei unendlich wissen wir nicht einmal, ob es positiv oder negativ ist. Das ist kein willkürliches Verbot: Es gibt einfach keine sinnvolle Antwort.