Hvorfor giver minus gange minus plus?

I skolen lærer man det udenad: minus gange minus giver plus, altså (−3) · (−2) = 6. Det ligner en regel, som nogen har fundet på og lige så godt kunne have valgt −6. Men valget er ikke så frit.

At gange er at hoppe

På tallinjen ligger de positive tal til højre for nul og de negative til venstre. Tre gange to er tre hop på to: fra nul til 2, 4 og 6. Det første tal siger, hvor mange gange du hopper, det andet, hvor langt hoppet er og i hvilken retning.

Hop baglæns

Tre gange minus to er tre hop på minus to, altså mod venstre: til −2, −4 og −6. Positivt gange negativt giver negativt. Rækkefølgen er ligegyldig, så negativt gange positivt giver også negativt: (−3) · 2 = −6.

En talrække, der fortsætter

Fjern hop, og se på resultatet: for hvert hop færre bliver det 2 større. Hvad »minus ét hop« er, siger hoppene ikke, men talrækken gør: fortsætter den på samme måde, bliver det (−1) · (−2) = 2 og til sidst (−3) · (−2) = 6.

Bilen kører fremad

En bil kører fremad med 2 meter i sekundet, hvert sekund er et hop på 2 meter. Om 3 sekunder er den 3 · 2 = 6 meter foran det sted, hvor den er nu. For 3 sekunder siden, til tiden −3, var den ved (−3) · 2 = −6, altså seks meter bagved.

Bilen bakker

Nu bakker bilen med −2 meter i sekundet. Om 3 sekunder er den ved 3 · (−2) = −6, seks meter bagved. Men for 3 sekunder siden var den seks meter foran, så for at regnestykket skal gå op, må (−3) · (−2) give 6.

Prøv det selv

Film dig selv med mobilen, mens du går baglæns, og afspil videoen baglæns. I videoen går du fremad: at gå baglæns er negativ fart, at afspille baglæns er negativ tid, og sammen giver de bevægelse fremad.

Gange ind i parentesen

I skolen har du lært at gange ind i en parentes: (3 + 4) · 2 = 3 · 2 + 4 · 2. På tallinjen kan du se det: syv hop på to lander dér, hvor tre hop og så fire til lander. Næsten al omskrivning af udtryk bygger på det, så vi vil have, at det også gælder for negative tal.

Hvis det gav −6

I (3 + (−3)) · (−2) er parentesen nul, så resultatet er nul. Ganger man ind, får man 3 · (−2) + (−3) · (−2) = −6 + (−3) · (−2), og det giver kun nul, hvis (−3) · (−2) = 6. Med −6 ville det samme udtryk give 0 den ene gang og −12 den anden.

Så hvorfor giver minus gange minus plus?

Fordi ethvert andet resultat ville ødelægge de regnestykker, der virker for positive tal: rækken af multipla ville knække, den bakkende bil ville ende det forkerte sted, og man kunne ikke gange ind i parenteser. Minus gange minus giver plus, for at reglerne skal gælde ens for alle tal.