Hvorfor kan vi ikke dividere med nul?
Lommeregneren viser fejl
Skriv 6 : 0 på en lommeregner, og i stedet for et resultat får du en fejl. Er det bare en regel, som nogen har fundet på? Mange ville gætte på, at det giver nul, andre uendelig.
Hvor mange gange går det op?
Division er et spørgsmål: Hvor mange gange går ét tal op i et andet? 6 : 2 betyder, hvor mange gange du kan tage to bolsjer fra en bunke på seks, før der ikke er noget tilbage. Tre gange, så 6 : 2 = 3.
Prøve med gange
Enhver division kan kontrolleres med gange: Resultatet gange det, vi dividerede med, skal give det oprindelige tal igen. 6 : 2 = 3 stemmer, fordi 3 · 2 = 6. Tre par bolsjer giver seks igen.
Hvor mange gange går nul op?
Nu 6 : 0. Hvor mange gange kan du tage nul bolsjer fra seks, før der ikke er noget tilbage? Bunken bliver ikke mindre, og hverken tusind eller en million gange er nok: Du bliver aldrig færdig.
Prøven går ikke op
Lad os gøre prøve: Vi leder efter et tal, der gange nul giver seks. Men alt gange nul er nul: 7 · 0 = 0, 100 · 0 = 0 og 0 · 0 = 0. Sådan et tal findes ikke, ikke engang nul.
Nul divideret med nul
Med 0 : 0 er det omvendt. Vi leder efter et tal, der gange nul giver nul, og det klarer absolut alle tal: 5 · 0 = 0 og 1.000 · 0 = 0. Der er uendelig mange resultater, og intet af dem har mere ret end de andre.
Hvad så med uendelig?
Intet almindeligt tal passer, men hvad med uendelig, noget, der er større end alle tal? Prøv at dividere med mindre og mindre stykker: 0,1 går op i én ti gange, 0,01 hundrede gange og 0,001 tusind gange. Jo tættere stykket er på nul, jo flere gange går det op, og det uden grænse.
Fra den anden side
Men man kan også nærme sig nul fra de negative tal: 1 : (−0,1) = −10, 1 : (−0,01) = −100. Dér styrter resultatet ned i de negative tal, igen uden grænse. Man kan altså ikke engang sige, om 1 : 0 ville være et kæmpestort positivt tal eller et kæmpestort negativt.
Prøv det selv
Åbn lommeregneren på din telefon, og dividér én med 0,001, så med −0,001 og til sidst med 0,000001. Det giver 1.000, −1.000 og en million. Men prøv at dividere med nul, og lommeregneren viser fejl igen.
Hvad hvis vi alligevel tillod det?
2 · 0 = 3 · 0 gælder, begge sider er nul. Hvis vi måtte dividere med nul, kunne vi dividere begge sider med det, og tilbage ville stå 2 = 3. Så snart vi tillader division med nul, kan man på den måde »bevise« hvad som helst.
Så hvorfor kan vi ikke dividere med nul?
Resultatet af en division er det tal, der gange det, vi dividerer med, giver det oprindelige tal igen. For 6 : 0 findes der intet sådant, for 0 : 0 passer alle, og med uendelig ved vi ikke engang, om det er positivt eller negativt. Det er ikke et vilkårligt forbud: Intet svar giver simpelthen mening.