Kolik lidí stačí, aby dva měli stejné narozeniny?
Kolik lidí stačí?
Kolik lidí musí být v místnosti, aby se spíš našli dva se stejnými narozeninami, než aby ne? Rok má 365 dní, takže většina lidí tipne kolem 180.
Nejde o tvoje narozeniny
Tip kolem 180 je polovina roku, jako by se někdo musel trefit do tvých narozenin. Jenže stačí, aby se shodli jacíkoli dva lidé v místnosti, třeba dva, které vůbec neznáš. To je úplně jiná otázka.
Kolik je dvojic
Každá dvojice lidí je jedna šance na shodu. První z 10 lidí tvoří dvojici s 9 ostatními, druhý s dalšími 8 a tak dál, dohromady 45 dvojic. U 30 lidí jich je už 435: dvojic přibývá mnohem rychleji než lidí.
Jedna dvojice se skoro netrefí
Šance, že dva konkrétní lidé mají narozeniny ve stejný den, je malá: jedna ku 365, asi tři desetiny procenta. Jenže ve 30 lidech je takových dvojic 435 a stačí, aby se trefila jediná. Kolik to dá dohromady?
Sčítat se to nedá
Šance dvojic se nedají jen sečíst: u 28 lidí je 378 dvojic a vyšlo by víc než sto procent. Snazší je spočítat naopak šanci, že se nikdo netrefí, a odečíst ji od sta procent. Co zbude, je šance, že se aspoň dva trefí.
Každý další musí uhnout
Druhý člověk musí mít narozeniny jindy než první, na to má 364 dní z 365. Třetí se musí vyhnout dvěma obsazeným dnům, čtvrtý třem. Minout se musí druhý a zároveň třetí a zároveň čtvrtý, takže každý ukrojí kousek z toho, co zbylo.
Polovina u 23
Ty kousky se násobí a každý další ukrojí víc, protože obsazených dní přibývá. U 23 lidí klesne šance, že se všichni minou, pod polovinu. Ve skupině 23 lidí tedy spíš dva slaví narozeniny ve stejný den, než aby ne.
A kdo má narozeniny se mnou?
Aby měl někdo narozeniny přesně ve stejný den jako ty, potřebuješ 253 dalších lidí, a i pak je šance jen 50 %. Je to stejné číslo jako počet dvojic ve 23 lidech: v obou případech potřebuješ zhruba 253 šancí na shodu.
Čím víc lidí, tím jistěji
Ve třídě s 30 dětmi je šance na shodu asi 70 %, u 50 lidí 97 % a u 70 lidí je shoda skoro jistá. Ta velká čísla nejsou nic zvláštního, jen dvojic rychle přibývá.
Ověř si to sám
Zeptej se na narozeniny ve třídě nebo v práci, kde je aspoň 25 lidí, dvojčata nepočítej. Šance, že se najdou dva se stejným dnem, je víc než polovina. Kdo to zkusí v několika skupinách, uvidí shodu zhruba v každé druhé.
Takže kolik lidí stačí?
Stačí 23. Nemusí se nikdo trefit do tvých narozenin, stačí jakákoli dvojice, a dvojic je ve 23 lidech 253. Každá má malou šanci, ale stačí jediná trefa: šance, že se všech 253 dvojic mine, je menší než polovina.