Proč je minus krát minus plus?

Ve škole se učí nazpaměť: minus krát minus je plus, takže (−3) · (−2) = 6. Vypadá to jako pravidlo, které si někdo vymyslel a klidně mohl zvolit −6. Jenže tak volné to není.

Násobení jsou skoky

Na číselné ose leží kladná čísla vpravo od nuly a záporná vlevo. Třikrát dva jsou tři skoky po dvou: z nuly na 2, 4 a 6. První číslo říká, kolikrát skočíš, druhé, jak dlouhý je skok a kterým směrem.

Skoky dozadu

Třikrát minus dva jsou tři skoky po minus dvou, tedy doleva: na −2, −4 a −6. Kladné krát záporné je záporné. Na pořadí čísel nezáleží, takže i záporné krát kladné je záporné: (−3) · 2 = −6.

Řada, která pokračuje

Ubírej skoky a sleduj výsledek: s každým skokem méně je o 2 větší. Co je „minus jeden skok“, skoky neřeknou, řada ano: když pokračuje stejně, vyjde (−1) · (−2) = 2 a nakonec (−3) · (−2) = 6.

Auto jede dopředu

Auto jede dopředu rychlostí 2 metry za sekundu, každá sekunda je jeden skok o 2 metry. Za 3 sekundy bude 3 · 2 = 6 metrů před místem, kde je teď. Před 3 sekundami, v čase −3, bylo (−3) · 2 = −6, tedy šest metrů vzadu.

Auto couvá

Teď auto couvá rychlostí −2 metry za sekundu. Za 3 sekundy bude 3 · (−2) = −6, šest metrů vzadu. Před 3 sekundami ale bylo šest metrů vpředu, takže aby počítání sedělo, musí (−3) · (−2) vyjít 6.

Ověř si to sám

Natoč se mobilem, jak couváš, a pusť video pozpátku. Na videu jdeš dopředu: couvání je záporná rychlost, přehrávání pozpátku záporný čas a dohromady to dá pohyb vpřed.

Roznásobení závorky

Ze školy znáš roznásobení závorky: (3 + 4) · 2 = 3 · 2 + 4 · 2. Na ose je to vidět: sedm skoků po dvou dojde tam, kam tři skoky a po nich další čtyři. Stojí na tom skoro každá úprava výrazu, takže chceme, aby to platilo i pro záporná čísla.

Kdyby to bylo −6

V (3 + (−3)) · (−2) je v závorce nula, takže vyjde nula. Roznásobením vyjde 3 · (−2) + (−3) · (−2) = −6 + (−3) · (−2), a to dá nulu, jen když (−3) · (−2) = 6. S −6 by tentýž výraz vyšel jednou 0 a podruhé −12.

Takže proč je minus krát minus plus?

Protože jakýkoli jiný výsledek by rozbil počítání, které platí pro kladná čísla: řada násobků by se zlomila, couvající auto by nám vyšlo na špatném místě a závorky by nešly roznásobit. Minus krát minus je plus, aby pravidla platila pro všechna čísla stejně.